Le leggi della Natura
 

Problema meccanica - forze generalizzate in sistema due aste

cometa_luminosa 14 Ott 2015 14:27
Greenwood Donald T. - Classical Dynamics - capitolo 1, sez. 1-4, example 1-4

"Three particles [tutte e 3 della stessa massa m] are connected by two rigid
rods having a ******* between them to form the system shown in Fig. 1-8.


[il sistema e' in un piano, il punto P1 si trova a sinistra di P2 e P3 a destra
di P2. le quote dei punti P1, P2, P3 sono indicate rispettivamente con x1, x2,
x3, l'ascissa della distanza tra P1 e P2 e' indicata con L, cosi' come l'ascissa
della distanza tra P2 e P3 e' indicata ancora con L; per come e' fatto il
disegno, tanto per dare un'idea anche se non necessario, potrebbe essere: x1 =
2, x2 = 1, x3 = 3 e L = 4].



A vertical force F and a moment M are applied as shown [F e' applicata in un
punto dell'asta che congiunge P1 a P2, a distanza orizzontale pari a 3L/4 dal
punto centrale P2; il momento di forza e' indicato come una freccia curva
attorno al punto P3, che tende a far ruotare in senso antiorario l'asta che
congiunge P2 a P3].

The configuration of the system is given by the orinary coordinates (x1,x2,x3)
or by the generalized coordinates (q1,q2,q3) where:

x1 = q1 +q2 + (1/2)q3

x2 = q1 - q3

x3 = q1 - q2 + (1/2)q3

Find the generalized forces Q1, Q2, Q3. Assume small motions."



Ho scritto "a distanza orizzontale [tra due punti]..." per intendere "l'ascissa,
in valore assoluto, del vettore differenza di posizione tra i due punti", spero
che si capisca.



A parte il come lo risolve, che mi e' chiaro solo in parte, il mio problema e'
come ha scelto le coordinate; ad un certo punto scrive: "Notice that an increase
in q1 represent a pure translation (e questo mi puo' star bene perche' q1 e' la
quota del centro di massa del sistema), while q2 is associated with a rotation
about the center, and q3 denotes a deformation or bending of the system."

1) Che intende con "centro"?
2) Perche' q2 e' associato ad una rotazione rispetto al centro e q3 ad una
deformazione?

Se non avesse indicato le coordinate da usare io avrei fatto cosi'.


E' un sistema di N = 3 punti, con 3 vincoli: i due vincoli di rigidita' delle
aste che fissano la distanza tra P1 e P2 e la distanza tra P2 e P3 ed il vincolo
geometrico che fissa ad un valore uguale L la "distanza orizzontale tra P1 e P2
e tra P2 e P3". Quindi i gradi di liberta' sono 2N - 3 = 3. Io avrei preso
quindi come coordinate generalizzate:

a) le coordinate (x,y) di P2
b) l'angolo t formato dalle due aste

perche' posso far variare a piacimento x e y in (-oo,+oo) e t in (0,2pi) pur
mantenendo i vincoli. E' corretto?


Ma intuisco che usare un angolo forse implicherebbe che la risoluzione del
problema sarebbe complicata, dato come sono messe F ed M, mentre usare le quote
x1, x2, x3 o le coordinate q1, q2, q3 rende tutto piu' semplice.

Ma come fa a utilizzare solo le quote dei punti e non anche lo spostamento
orizzontale?
E, soprattutto, come fa a dire che q2 e q3 rappresentano quello che ha detto?

Grazie.

--
cometa_luminosa
Giorgio Bibbiani 19 Ott 2015 06:56
cometa_luminosa ha scritto:
> Greenwood Donald T. - Classical Dynamics - capitolo 1, sez. 1-4,
> example 1-4

Qui si puo' vedere l'immagine del sistema:

http://www.filedropper.com/immagine

il testo completo del problema si trova su Google Books:

https://books.google.it/books?id=x7rj83I98yMC&lpg=PP1&hl=it&pg=PA26#v=onepage&q&f=false

Io non ho capito quali siano i vincoli del sistema, quindi non
so neanche stabilire quali siano le coordinate generalizzate...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
BlueRay 19 Ott 2015 13:20
Il giorno venerdì 16 ottobre 2015 00:30:03 UTC+2, cometa_luminosa ha scritto:

> x1 = q1 +q2 + (1/2)q3
> x2 = q1 - q3
> x3 = q1 - q2 + (1/2)q3
> 2) Perche' q2 e' associato ad una rotazione rispetto al centro e q3 ad una
> deformazione?

Non lo avevo scritto, anche se e' facilmente deducibile dalle tre equazioni
sopra, le coordinate canoniche q sono:

q1 = (1/3)(x1 + x2 + x3)

q2 = (1/2)(x1 - x3)

q3 = (1/3)(x1 - 2x2 + x3)

Inoltre (ma si capiva): con P1, P2, P3 ho indicato le posizioni dei 3 punti
massa.

--
BlueRay
BlueRay 21 Ott 2015 09:10
Il giorno mercoledì 21 ottobre 2015 01:30:03 UTC+2, Maurizio Frigeni ha
scritto:
...
> Comunque mi pare evidente (ho trovato quelle pagine del libro su Google)
> che le figure 1.9 rispondano alle tue domande: in particolare se poni
> q2=dx e q1=q3=0 (fig. (b)) ottieni x2=0 (centro fisso), x1=dx e x3=-dx
> (rotazione infinitesima attorno a x2). Considerazioni *****oghe valgono
> per q3=dx e q1=q2=0 (fig. (c)).


Va bene, intuitivamente mi potrebbe anche tornare, ma come si fa a scrivere le
equazioni per le q in funzione delle x senza dover fare le cose "ad intuito
visivo"?

--
BlueRay
BlueRay 21 Ott 2015 09:13
Il giorno mercoledì 21 ottobre 2015 01:30:03 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha
scritto:

> Io non ho capito quali siano i vincoli del sistema, quindi non
> so neanche stabilire quali siano le coordinate generalizzate...


Dice che 3 masse sono collegate da due aste rigide che formano un ******* tra
di loro, "immagino" che tale ******* sia uno snodo che permette la rotazione
sul piano, anche se non lo dice :-)
Ciao.

--
BlueRay
Giorgio Bibbiani 21 Ott 2015 18:14
BlueRay ha scritto:
> Dice che 3 masse sono collegate da due aste rigide che formano un
> ******* tra di loro, "immagino" che tale ******* sia uno snodo che
> permette la rotazione sul piano, anche se non lo dice :-) Ciao.

Le 2 quote indicate con lo stesso nome l
immagino siano uguali.
Sono uguali solo nella configurazione iniziale?
Allora le 3 coordinate x_1, x_2, x_3 non bastano
a caratterizzare la configurazione del sistema,
che puo' anche traslare nella direzione y ortogonale
all'asse x.
O c'e' un vincolo ulteriore per cui le 2 quote devono
rimanere uguali durante tutto il moto?
Allora essendo le aste rigide, a partire da una data
configurazione iniziale, le coordinate indipendenti
sono solo 2, ad es. quelle x e y di uno dei p.m..

Almeno cosi' pare a me...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Maurizio Frigeni 21 Ott 2015 19:07
BlueRay <blupanther@alice.it> wrote:

> come si fa a scrivere le equazioni per le q in funzione delle x senza
> dover fare le cose "ad intuito visivo"?

Intendi dire come si fa a scegliere le q "giuste"? In effetti vista così
sembra un'intuizione mistica, in realtà se devi trattare ad es. le
piccole oscillazioni ci sono metodi ben precisi per ottenere le q che
corrispondono ai modi normali. Può darsi che lo stesso libro tratti
questi metodi successivamente.

M.

--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Elio Fabri 21 Ott 2015 21:38
BlueRay ha scritto:
> Dice che 3 masse sono collegate da due aste rigide che formano un
> ******* tra di loro, "immagino" che tale ******* sia uno snodo che
> permette la rotazione sul piano, anche se non lo dice :-)
Indubbiamente è enunciato da cani.
Non dice che i tre punti si muovono in un piano.
Con questo avrebbero 6 gradi di libertà, che si riducono a 4 a causa
delle aste che li collegano.

Come mai usa solo 3 coordinate?
Perché (senza dirlo) sta facendo un'altra ipotesi: che uno dei punti
(per es. quello centrale) sia vincolato su una retta verticale.

Poi dice "Assume small motions".
Questo serve a salvare l'apparente incompatibilità geometrica: se tutti
e tre i punti si muovessero in verticale, le distanze non potrebbero
restare costanti.
Ma se gli spostamenti verticali sono infinitesimi del primo ordine, le
variazioni di distanza sono del secondo ordine.
Solo che a me non pare pulito introdurre aprossimazioni già nella
definizione delle coordinate. Si poteva dire molto meglio.


--
Elio Fabri
BlueRay 22 Ott 2015 09:04
Il giorno mercoledì 21 ottobre 2015 01:30:03 UTC+2, Maurizio Frigeni ha
scritto:

> in particolare se poni
> q2=dx e q1=q3=0 (fig. (b)) ottieni x2=0 (centro fisso), x1=dx e x3=-dx
> (rotazione infinitesima attorno a x2). Considerazioni *****oghe valgono
> per q3=dx e q1=q2=0 (fig. (c)).

Comunque, grazie anche a questa tua risposta, "qualcosa" ho capito :-)
Faccio un riassunto. Con quella scelta delle coordinate generalizzate
q1, q2, q3:

x1 = q1 +q2 + (1/2)q3

x2 = q1 - q3

x3 = q1 - q2 + (1/2)q3

si ha quanto segue.

1) q2 e q3 si tengono fisse, varia solo q1, percio' dx1 = dx2 = dx3. Questa e'
evidentemente una traslazione di tutto il sistema.


2) q1 e q3 fisse, varia solo q2, percio' dx2 = 0, dx1 = - dx3. In questo tipo di
variazione di configurazione, che il testo chiama "rotazione", il punto massa
centrale rimane fisso e gli altri due si muovono in senso opposto l'uno rispetto
all'altro.



3) q1 e q2 fisse, varia solo q3, percio' dx1 = dx3; dx2 = -dx1; dx1 + dx2 + dx3
= 0 ovvero il centro di massa rimane fisso, il primo e l'ultimo punto si muovono
nello stesso senso, il punto centrale in senso opposto. Questa variazione di
configurazione viene chiamata dall'autore "deformation" or "bending".

--
BlueRay
BlueRay 22 Ott 2015 09:21
Il giorno mercoledì 21 ottobre 2015 21:48:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:

<<Come mai usa solo 3 coordinate?
Perché (senza dirlo) sta facendo un'altra ipotesi: che uno dei punti
(per es. quello centrale) sia vincolato su una retta verticale.
Poi dice "Assume small motions".
Questo serve a salvare l'apparente incompatibilità geometrica: se tutti
e tre i punti si muovessero in verticale, le distanze non potrebbero
restare costanti.
Ma se gli spostamenti verticali sono infinitesimi del primo ordine, le
variazioni di distanza sono del secondo ordine.
Solo che a me non pare pulito introdurre aprossimazioni già nella
definizione delle coordinate. Si poteva dire molto meglio.>>

Ma il fatto che le componenti orizzontali di |(P2-P1)| e |(P3-P2)| le indichi
entrambe con L, come lo interpreti?

--
BlueRay
Elio Fabri 24 Ott 2015 20:48
BlueRay ha scritto:
> Ma il fatto che le componenti orizzontali di |(P2-P1)| e |(P3-P2)| le
> indichi entrambe con L, come lo interpreti?
A parte la strana notazione (non bastava |P1-P2| ?) rientra in quello
che ho detto: quelle componenti orizzontali differiscono da L solo al
secondo ordine nelle differenze delle x.


--
Elio Fabri

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