Le leggi della Natura
 

Help trave

Elio Fabri 12 Nov 2015 21:50
Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto arrovellando
attorno a un problema, e mi manca qualcosa per arrivare in fondo.
Il problema è questo.

Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata orizzontalmente in
un muro.
Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della trave prima
che si spezzi sotto il suo peso?

Sono noti i dati necessari: densità del materiale, caratteristiche
elastiche (isotropia, modulo di Young e rapporto di Poisson), carico
di rottura a trazione e a compressione (spero bastino)-
Suppongo inoltre che si possa restare nel campo delle piccole
deformazioni, quindi equazioni lineari ecc.

Le eq. del caso, sulle componenti del tensore degli sforzi, le
conosco. Dal Landau ho anche appreso che queste si possono esprimere
mdiante tre funzioni biarmoniche.
Un problema a parte è venuto dalle condizioni al contorno; non sulle
sup. libere, ma nella sezione d'incastro.
L'ho superato assumendo che lì la condizione sia di anullare le
componenti del tensore di deformazione nel piano della sezione.

A questo punto ho tutte le eq. e cond. al contorno, e il problema è che
non so come risolverle...
Spero (anzi sono quasi sicuro) che nel NG ci sia qualcuno che ha
studiato scienza delle costruzioni o roba simile, e quindi sa come si
trattano problemi del genere.
Non vorrei però soluzioni numeriche, tipo elementi finiti.
Esistono sol. anlitiche, tipo sviluppo in opportune serie di funzioni?

Chiarisco che se non trovo il modo di risolvere il problema potrò
tranquillamente abbandonarlo: non è per niente vitale :-)


--
Elio Fabri
trubak@interfree.it 13 Nov 2015 09:56
Il giorno giovedì 12 novembre 2015 22:00:03 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto arrovellando
> attorno a un problema, e mi manca qualcosa per arrivare in fondo.
> Il problema è questo.
>
> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata orizzontalmente in
> un muro.
> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della trave prima
> che si spezzi sotto il suo peso?
>
> Sono noti i dati necessari: densità del materiale, caratteristiche
> elastiche (isotropia, modulo di Young e rapporto di Poisson), carico
> di rottura a trazione e a compressione (spero bastino)-
> Suppongo inoltre che si possa restare nel campo delle piccole
> deformazioni, quindi equazioni lineari ecc.

Bah, se

1) rimaniamo nel campo della teoria dell'elasticità
2) il materiale della trave è omogeneo

si ha che la flessione la fa da padrone.
Verificando la classica disuguaglianza:

M/W < sigma ammissibile dove:

M = momento dato dal peso proprio
W = modulo di resistenza a flessione della trave
sigma ammissibile = resistenza del materiale oltre il quale si entra in campo
plastico

M = ql^2/2 (l=luce sbalzo, q carico al metro sulla trave)
W = b(h^2)/6 (sezione rettangolare)

si ottiene un risultato NON a rottura ma in campo elastico.
Di solito tra la rottura e la fine del campo elastico, per i normali materiali
da costruzione, c'è ovviamente un coefficiente maggiorativo
Massimo 456b 13 Nov 2015 13:46
"Elio Fabri" <elio.fabri@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
news:dakcn8Ftsn0U1@mid.individual.net...
> Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto arrovellando
> attorno a un problema, e mi manca qualcosa per arrivare in fondo.
> Il problema è questo.
>
> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata orizzontalmente in
> un muro.
> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della trave prima
> che si spezzi sotto il suo peso?

provi a consultare il Cestelli Guidi
sull'argomento.
Dovrebbe essere esauriente.

saluti
Massimo
Massimo 456b 13 Nov 2015 14:06
p.s.

questo software gratuito completo di
manualistica sviluppato
dagli studenti di ingegneria
dovrebbe essere completo
sull'argomento

http://www.ingegneriaedintorni.com/2014/01/califfo-10-carico-limite-delle.html

saluti
Massimo
Gianluca 13 Nov 2015 16:26
Il 12/11/2015 21:50, Elio Fabri ha scritto:
> A questo punto ho tutte le eq. e cond. al contorno, e il problema è che
> non so come risolverle...
> Spero (anzi sono quasi sicuro) che nel NG ci sia qualcuno che ha
> studiato scienza delle costruzioni o roba simile, e quindi sa come si
> trattano problemi del genere.
> Non vorrei però soluzioni numeriche, tipo elementi finiti.
> Esistono sol. anlitiche, tipo sviluppo in opportune serie di funzioni?
>
> Chiarisco che se non trovo il modo di risolvere il problema potrò
> tranquillamente abbandonarlo: non è per niente vitale :-)
>

La trattazione del problema della trave elastica viene affrontato nel
corso di Scienza delle Costruzioni, ad ingegneria.

Si derivano tutte le espressioni relative a linea elastica, tensioni nel
materiale, reazioni vincolari, imbozzamenti (per sezioni snelle), ecc.

Penso di essere in grado di aiutarti, però vorrei risponderti dopo aver
consultato i testi (che ora non ho sotto mano) perché non credo ti
accontenteresti di qualche fomula buttata là...

Sarebbe anche utile avere qualche informazione in più sulla tua indagine
perché stai partendo dalle origini (tensore di sforzi e deformazioni)
mentre non hai nemmeno nominato Navier...


Gianluca

--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: news@netfront.net ---
Franco 14 Nov 2015 22:38
On 11/12/2015 21:50, Elio Fabri wrote:

Non capisco se e` un problema da fisico o da ingegnere, cioe` se vuoi
sapere come si fa a scienza delle costruzioni oppure se lo vuoi
impostare con il metodo che hai descritto.

Se hai problemi con le condizioni al contorno sull'incastro, hai provato
a considerare una trave di lughezza doppia appoggiata in mezzo?

Viene fuori comunque una singolarita`, forse pero` se cerchi una
soluzione simmetrica e` piu` semplice.


Franco

Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)
marcofuics 15 Nov 2015 17:04
...e mi manca qualcosa per arrivare in fondo... È sul concetto del qualcosa o
del fondo che non concordiamo? Diciamo che non si risolve a meno di situazioni
particolarissime (in rete.
https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.dicar.units.it/mdp/Zaccaria/Triennali%2520(esaurimento)/Dispense/SdC_Parte_4_FR.pdf&ved BsQFjAAahUKEwjGofDF5pLJAhXDChoKHc_9AkI&usg¯QjCNGXhO1HnPglos5h65wczjg2mQ3-Hg&sig2=7JExBLw-VXaJF8rT-_VYqA
)
Gianluca 15 Nov 2015 20:17
Il 12/11/2015 21:50, Elio Fabri ha scritto:
> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata orizzontalmente in
> un muro.
> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della trave prima
> che si spezzi sotto il suo peso?
>
>
> L'ho superato assumendo che lì la condizione sia di anullare le
> componenti del tensore di deformazione nel piano della sezione.
>

All'incastro sono nulli gli spostamenti, non la deformazione; infatti
sull'incastro si ha la massima curvatura.


> Non vorrei però soluzioni numeriche, tipo elementi finiti.
> Esistono sol. anlitiche, tipo sviluppo in opportune serie di funzioni?
>

Provo a darti una risposta che segue la traccia dello stu***** che se ne
fa in S.d.C.

Sembra dalle tue ipotesi sembra che tu intenda riferirti a materiale
isotropo, ad esempio di un qualche metallo.

La trave in Oggetto è caricata con il solo peso proprio; è un carico
uniformemente distribuito: lo chiamo p (kN/m)
Le dimensioni sono b*h

Se L è la lunghezza della trave, il momento di incastro vale M=(pL^2)/2
e il taglio V=pL

La tensione normale in una generica sezione si valuta con: σ=(My)/(EJ)
Dove: M=momento flettente; y=altezza della fibra in cui si cerca σ
(praticamente h/2); E=modulo di elasticità del materiale; J=modulo
d'inerzia della sezione pari a b*h^3/12

La tensione tangenziale in una generica sezione si ottiene dalla famosa
espressione τ=(VS)/(Jb); per sezione rettangolare questa si semplifica
in τ=3/2*V/(bh)

Si possono quindi ricavare facilmente σ e τ nella sezione d'incastro,
più sollecitata.

Veniamo alla questione più delicata: all'aumentare della lunghezza L,
quando si romperà la trave?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo conoscere il valore di σ e τ
massimi del materiale, ma non basta.
Ci sono diverse teorie che affrontano il problema in modi diversi:
alcune pongono limitazioni ai valori delle tensioni, altre pongono
limitazioni alle deformazioni (tensioni e deformazioni sono ovviamente
legati, ma non in modo diretto --> εx dipende sia da σx che da σy e σz).

Tutte arrivano a definire una tensione ideale monoassiale a cui riferire
lo stato tensionale (cfr. Tresca - Von Mises).

Ad esempio, nel criterio di Tresca si limita la tensione tangenziale
massima e il criterio di resistenza diventa: σid=√(σ^2+4(τxz^2)) in
questo caso.

Per Von Mises (limita il lavoro di deformazione) σid=√(σ^2+3(τxz^2)) in
questo caso.

Nelle espressioni sopra non vedi il valore del coefficiente di Poisson
perché è stato inglobato.

La linea elastica della trave a mensola uniformemente caricata è data
dall'equazione EJy"=pl^2/2
La doppia integrazione, imponendo le condizioni al contorno in x=L -->
y'=0 e y=0 fornisce EJy=px^4/24-pl^3x/6+pl^4/8

Se il materiale non è isotropo le condizioni di resistenza cambiano (es.
cemento armato).

Spero che la risposta ti sia in qualche modo utile: non è facile
trattare argomenti studiati 30 anni fa e mai più ripresi!


Gianluca



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ADPUF 15 Nov 2015 23:10
Massimo 456b 13:46, venerdì 13 novembre 2015:
> "Elio Fabri" <elio.fabri@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
>
>> Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto
>> arrovellando attorno a un problema, e mi manca qualcosa per
>> arrivare in fondo. Il problema è questo.
>>
>> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata
>> orizzontalmente in un muro.
>> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della
>> trave prima che si spezzi sotto il suo peso?
>
> provi a consultare il Cestelli Guidi
> sull'argomento.
> Dovrebbe essere esauriente.


Qualunque manuale dell'ingegnere o forse anche del perito
contiene le travi.


--
AIOE ³¿³
ADPUF 16 Nov 2015 20:01
marcofuics 17:04, domenica 15 novembre 2015:
>
> ...e mi manca qualcosa per arrivare in fondo... È sul
> concetto del qualcosa o del fondo che non concordiamo?
> Diciamo che non si risolve a meno di situazioni
> particolarissime (in rete.
>
https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.dicar.units.it/mdp/Zaccaria/Triennali%252
(esaurimento)/Dispense/SdC_Parte_4_FR.pdf&ved
>
BsQFjAAahUKEwjGofDF5pLJAhXDChoKHc_9AkI&usg¯QjCNGXhO1HnPglos5h65wczjg2mQ3-Hg&sig2=7JExBLw-VXaJF8rT-_VYqA
> )


Che bel link...


--
AIOE ³¿³
Massimo 456b 16 Nov 2015 20:06
"ADPUF"

>> provi a consultare il Cestelli Guidi
>> sull'argomento.
>> Dovrebbe essere esauriente.
>
>
> Qualunque manuale dell'ingegnere o forse anche del perito
> contiene le travi.

capisco.
Dunque un problema scientifico a tutti gli effetti,
non tecnico.
Come allora non tener conto di come gli
effetti gravitazionali di una trave sospesa non
innescano una risonanza?

ciao
Massimo
ADPUF 16 Nov 2015 21:07
Gianluca 20:17, domenica 15 novembre 2015:

> Veniamo alla questione più delicata: all'aumentare della
> lunghezza L, quando si romperà la trave?
> Per rispondere a questa domanda dobbiamo conoscere il valore
> di σ e τ massimi del materiale, ma non basta.
> Ci sono diverse teorie che affrontano il problema in modi
> diversi: alcune pongono limitazioni ai valori delle tensioni,
> altre pongono limitazioni alle deformazioni (tensioni e
> deformazioni sono ovviamente legati, ma non in modo diretto
> --> εx dipende sia da σx che da σy e σz).


In una trave incastrata il taglio diventa trascurabile rispetto
alla flessione quanto più aumenta la lunghezza.


Una curiosità che ho sentito da un ingegnere civile è che i
ponti ferroviari sono progettati con limitazione della
deformazione e non rispetto alla sollecitazione.

Cioè sono notevolmente più "massicci" di quel che basta per
tenere su il treno.
Ma in quel caso il ponte si piegherebbe molto di più (sempre
entro l'elasticità) con brutte conseguenze sulla marcia e
inolte ci sarebbero sollecitazioni dinamiche indesiderate.


--
AIOE ³¿³
Elio Fabri 16 Nov 2015 21:34
Gianluca ha scritto:
> La trattazione del problema della trave elastica viene affrontato nel
> corso di Scienza delle Costruzioni, ad ingegneria.
Questo lo supponevo :-)

> Sarebbe anche utile avere qualche informazione in più sulla tua
> indagine perché stai partendo dalle origini (tensore di sforzi e
> deformazioni) mentre non hai nemmeno nominato Navier...
Non ho nominato Navier perché non sapevo che ci avesse a che fare.
Come non ho nominato de Saint Venant per la stessa ragione.

Il tuo indizio mi ha permesso di scovare le voci in wikipedia, ma ci
ho capito poco, soprattutto perché non mi sono chiare le
approssimazioni e relativi limiti di validità.
In realtà stavo tentando di partire senza fare approssimazioni, tranne
la linearità.
E non sono tanto interessato a una soluzione che abbia utilità pratica,
quanto all'approccio teorico generale.

Franco ha scritto:
> Non capisco se e` un problema da fisico o da ingegnere, cioe` se
> vuoi sapere come si fa a scienza delle costruzioni oppure se lo vuoi
> impostare con il metodo che hai descritto.
Il secondo, possibilmente.

> Se hai problemi con le condizioni al contorno sull'incastro, hai provato
> a considerare una trave di lughezza doppia appoggiata in mezzo?
>
> Viene fuori comunque una singolarita`, forse pero` se cerchi una
> soluzione simmetrica e` piu` semplice.
Ci avevo pensato, ma mi sembra una situazione troppo diversa da un
incastro.

Comunque grazie a tutti e due.


--
Elio Fabri
Claiudio 17 Nov 2015 10:21
Il 15/11/2015 20:17, Gianluca ha scritto:
> Spero che la risposta ti sia in qualche modo utile: non è facile
> trattare argomenti studiati 30 anni fa e mai più ripresi!
Complimenti e lode alla tua memoria: non solo per il filo logico ma
anche per le formule (ma forse avrai ripreso qualche vecchio appunto :-) ).

Mi sento di dare un consiglio al Fabri: che provi a guardare le dispense
per l'*****isi delle strutture isostatiche, anche in corsi tipo di
costruzione di macchine.
Franco 17 Nov 2015 14:18
On 11/16/2015 21:34, Elio Fabri wrote:

> Ci avevo pensato, ma mi sembra una situazione troppo diversa da un
> incastro.

Dipende da come modelli l'incastro. Se alla fine della trave metti una
superficie che non si muove con "incollaggio perfetto" non sei molto
distante dalla trave appoggiata in mezzo: il piano di simmetrica non si
muove e le tensioni sigma dovrebbero essere circa le stesse.

Cambiano molto probabilmente le forze di taglio, non so se si possa
cercare una soluzione prodotto di due termini in X e Y o usare una
sovrapposizione degli effetti...


--

Franco

Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)
Gianluca 17 Nov 2015 18:03
> Franco ha scritto:
>> Non capisco se e` un problema da fisico o da ingegnere, cioe` se
>> vuoi sapere come si fa a scienza delle costruzioni oppure se lo vuoi
>> impostare con il metodo che hai descritto.

> Elio Fabri ha scritto:
> Il secondo, possibilmente.
>

Se ho capito bene, vuoi impostare le equazioni di equilibrio (e
congruenza) nel caso più generale.

Forse allora fa al caso tuo consultare del materiale sul principio dei
lavori virtuali; ho visto una trattazione su wiki italiana che non è il
massimo, ma qualcosa si capisce. Poi tu queste cose dovresti masticarle
bene.

Puoi anche vedere qui:
https://it.wikiversity.org/wiki/Il_problema_di_Saint_Venant
la trattazione di DSV che affronta un problema simile al tuo.
Sono anche esplicitate le ipotesi semplificative (altrimenti la
formulazione generale del problema non è risolvibile).

Nel caso della tua trave, se x è l'asse della trave e z l'asse
verticale, si annullano tutte le tensioni con indice y, per evidenti
ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).

Rimane aperta la questione di "quando si rompe" (vedi mio precedente
post del 15/11).

Gianluca

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Gianluca 19 Nov 2015 16:12
Il 16/11/2015 21:07, ADPUF ha scritto:
>
> In una trave incastrata il taglio diventa trascurabile rispetto
> alla flessione quanto più aumenta la lunghezza.
>

Ti riferisci immagino alle tensioni dovute a taglio, non alla
sollecitazione che è comunque importante.
Poi dipende anche da che materiale stai calcolando: se è cemento armato
le verifiche a taglio devi farle perché il c.l.s è un materiale che
resiste poco a trazione; invece per travi in acciaio le tensioni dovute
a taglio sono molto inferiori alle tensioni normali per flessione (e in
ogni caso se ne tiene conto).


>
> Una curiosità che ho sentito da un ingegnere civile è che i
> ponti ferroviari sono progettati con limitazione della
> deformazione e non rispetto alla sollecitazione.
>

Non è affatto una curiosità! e vale per ogni struttura.
Soprattutto per l'acciaio, le verifiche di deformabilità sono molto più
stringenti delle verifiche a rottura: se a rottura una IPE 200 è
verificata per progettare correttamente senza eccessive deformazioni
magari devi usare una IPE 240 o anche più grande.

Gianluca


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Elio Fabri 30 Nov 2015 21:03
Gianluca ha scritto:
> Se ho capito bene, vuoi impostare le equazioni di equilibrio (e
> congruenza) nel caso più generale.
Intanto di nuovo grazie a tutti quelli che sono intervenuti.
Come avevo detto, nn è un problema vitale, per cui, visto che mi
sembra parecchio complicato, almeno per ora lo abbandono.

Comunque no, il mio problena non è *impostare* le equazioni: questo
l'ho già fatto (a parte un'incertezza sulle condizioni all'incastro).
Il problema è come risolverle...

> Nel caso della tua trave, se x è l'asse della trave e z l'asse
> verticale, si annullano tutte le tensioni con indice y, per evidenti
> ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).
Se capisco bene, in questo modo il poblema si ridurrebbe a 2D.
Ci avevo pensato subito, ma le "evidenti ragioni" a me non paiono
evidenti, anzi.
Mi sarebbe piaciuto trovare un argomento per considerarla una lecita
approssimazione, ma non l'ho trovato.


--
Elio Fabri
ADPUF 2 Dic 2015 20:05
Massimo 456b 20:06, lunedì 16 novembre 2015:
> "ADPUF"
>
>>> provi a consultare il Cestelli Guidi
>>> sull'argomento.
>>> Dovrebbe essere esauriente.
>>
>>
>> Qualunque manuale dell'ingegnere o forse anche del perito
>> contiene le travi.
>
> capisco.
> Dunque un problema scientifico a tutti gli effetti,
> non tecnico.
> Come allora non tener conto di come gli
> effetti gravitazionali di una trave sospesa non
> innescano una risonanza?


Che c'entra la risonanza?

Elio aveva chiesto:
> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata
> orizzontalmente in un muro.
> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della
> trave prima che si spezzi sotto il suo peso?


Questo è un problema statico che si risolve in un minuto col
manuale dall'ingegnere.

Trave incastrata lunga L, sezione rettangolare BxH; carico il
peso proprio.

Dati del materiale: densità ro, resistenza sigma_max.

Momento flettente nell'incastro:
Mmax=ro*g*L*B*H*L/2

Sollecitazione massima a flessione:
sigma= Mmax/W con W=J/(H/2) e J=B*H^3/12 (W=B*H^2/6)
= ro*g*B*H*L^2*6/(2*B*H^2) = ro*g*3*L^2/H

Per cui la L massima corrispondente risulta:
L_max^2=(sigma_max*H) / (3*ro*g)
L_max=sqrt(sigma_max*H/(3*ro*g))

Quindi la lunghezza max cresce con la radice di H e non dipende
da B.

Per l'acciaio
ro= 10^3 kg/m^3, g= 10 m/s^2, sigma= 10^8 Pa
L_max ~ sqrt(10^8*H/10^4) = 100 sqrt(H)
H=1 m L_max=100 m
H=0,1 m L_max=30 m

La deflessione dell'estremità è
f_max=ro*g*B*H*L*L^3/(8*E*J)=ro*g/(8*E) * B*H*L^4*12/(B*H^3)
=ro*g*3/(2*E) * L^4/H^2

acciaio E~2*10^11

f_max ~ 10^-7 * L^4/H^2
L=100 m H= 1m f_max~10 metri ~10%


Naturalmente sono stime a occhio.

--
AIOE ³¿³
Elio Fabri 4 Dic 2015 21:50
ADPUF ha scritto:
> Questo è un problema statico che si risolve in un minuto col manuale
> dall'ingegnere.
> ...
E tu pensi che io avrei avuto bisogno di un "manuale dell'ingegnere"
per trovare questa "soluzione"?
Non ti ha sfiorato il dubbio che quella soluzione mi paresse
insoddisfacente, o quanto meno con limiti di validità di cui il
suddetto "manuale" di certo non parla, e che io volessi capire proprio
questo?

Del resto come mai questa semplice risposta non è arrivata prima?
Probab. perché altri avevano capito un po' meglio la mia richiesta...


--
Elio Fabri
ADPUF 10 Dic 2015 21:28
Elio Fabri 21:50, giovedì 12 novembre 2015:

> Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto
> arrovellando attorno a un problema, e mi manca qualcosa per
> arrivare in fondo. Il problema è questo.
>
> Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata
> orizzontalmente in un muro.
> Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della
> trave prima che si spezzi sotto il suo peso?
>
> Sono noti i dati necessari: densità del materiale,
> caratteristiche elastiche (isotropia, modulo di Young e
> rapporto di Poisson), carico di rottura a trazione e a
> compressione (spero bastino)- Suppongo inoltre che si possa
> restare nel campo delle piccole deformazioni, quindi
> equazioni lineari ecc.
>
> Le eq. del caso, sulle componenti del tensore degli sforzi,
> le conosco. Dal Landau ho anche appreso che queste si possono
> esprimere mdiante tre funzioni biarmoniche.
> Un problema a parte è venuto dalle condizioni al contorno;
> non sulle sup. libere, ma nella sezione d'incastro.
> L'ho superato assumendo che lì la condizione sia di anullare
> le componenti del tensore di deformazione nel piano della
> sezione.
>
> A questo punto ho tutte le eq. e cond. al contorno, e il
> problema è che non so come risolverle...
> Spero (anzi sono quasi sicuro) che nel NG ci sia qualcuno che
> ha studiato scienza delle costruzioni o roba simile, e quindi
> sa come si trattano problemi del genere.
> Non vorrei però soluzioni numeriche, tipo elementi finiti.
> Esistono sol. anlitiche, tipo sviluppo in opportune serie di
> funzioni?
>
> Chiarisco che se non trovo il modo di risolvere il problema
> potrò tranquillamente abbandonarlo: non è per niente vitale
> :-)


[Posto qui su i.d.i.c la domanda apparsa su i.s.f.(m)
f/up to it.scienza.fisica]



--
AIOE ³¿³
Gianluca 11 Dic 2015 10:05
Il 30/11/2015 21:03, Elio Fabri ha scritto:

> Comunque no, il mio problena non è *impostare* le equazioni: questo
> l'ho già fatto (a parte un'incertezza sulle condizioni all'incastro).
> Il problema è come risolverle...
>
>> Nel caso della tua trave, se x è l'asse della trave e z l'asse
>> verticale, si annullano tutte le tensioni con indice y, per evidenti
>> ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).
> Se capisco bene, in questo modo il poblema si ridurrebbe a 2D.

Sì, l'idea era quella.

> Ci avevo pensato subito, ma le "evidenti ragioni" a me non paiono
> evidenti, anzi.

Qui stavo pensando al fatto che non abbiamo forze di superficie
ortogonali a z e y per cui σy=σz=0 però senza dirlo io ragionavo fuori
dall'incastro. Vedi sotto.

> Mi sarebbe piaciuto trovare un argomento per considerarla una lecita
> approssimazione, ma non l'ho trovato.
>

Ci ho riflettuto un po' e rispondo solo ora per mancanza di tempo e solo
dopo aver consultato alcuni testi; la risposta non è facile, come si
capirà nel seguito; ne approfitto anche per chiarire alcune mie risposte
in altri post che possono aver causato confusione, e per questo mi scuso.

Le condizioni sotto le quali vuoi studiare la trave, all'incastro in
effetti conducono a considerare uno stato triassiale di tensione.
Se x è l'asse della trave e z l'asse verticale, l'imposizione che la
deformazione all'incastro sia nulla nel piano yz conduce ad annullare
(uso la notazione scalare perché maneggiare i tensori non mi è familiare...)
1) εz=1/E(σz-(σx+σy)/m)
2) εy=1/E(σy-(σx+σz)/m)
dove 1/m= coeff. di Poisson
Praticamente, appena fuori dalla sezione d'incastro, nella metà
inferiore la sezione si dilata mentre nella metà superiore si restringe.

(Nel mio post del 15/11 osservavo che all'incastro sono nulli gli
spostamenti, non le deformazioni: mi riferivo alla deformazione lungo
l'asse della trave, mentre tu stavi parlando di deformazioni nel piano
della trave, per cui l'osservazione era inutile).

Questo genera una zona perturbata in prossimità delle zone in cui sono
applicati carichi concentrati (tipicamente i vincoli).
Nella trattazione classica di DSV si considera un sistema di forze
applicate alle sole basi della trave e si assume che i risultati della
trattazione siano validi con l'eccezione di un tratto iniziale della
lunghezza dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni trasversali
(questo per sezioni di forma raccolta: per sezioni di forma dispersa il
regime di tensioni alla DSV puo risultare molto perturbato per tutta la
lunghezza della trave).

Dal punto di vista matematico il tuo approccio generale conduce a
equazioni non risolvibili *****iticamente e difatti lo stesso DSV fu
costretto a imporre notevoli semplificazioni.

Si tratta di capire (mi pare che sia questo il tuo obiettivo) quanto sia
lecito trascurare nella soluzione generale ciò che accade nella zona
perturbata. Occorrerebbe fare in qualche modo una valutazione di σy e
σz, ad esempio prendendo per buona l'espressione di σx=M/W della
trattazione alla DSV ed estendendola fino alla sezione d'incastro (con
W=bh^2/6 per sezione rettangolare); ponendo εz=εy=0 nelle 1) e 2) si ricava:
σy=σz=σx/(m-1) e prendendo m=10/3 si ha σy=σz=(3/7)σx quindi non
trascurabile.
D'altra parte stiamo ipotizzando un incastro perfetto, che nella realtà
non sarà mai.
Supponendo, in modo del tutto arbitrario, che la dilatazione trasversale
nelle 1) e 2) sia dell'ordine di (1/100)εx=(1/100)σx/E (per approssimare
comunque una situazione vicina all'incastro) si ha (se non ho sbagliato
i conti):
σz=(m+1)/(100m-1)σx e sostituendo per m il valore 10/3 σz=(13/997)σx che
in questo caso è trascurabile.

Stavo tentando di dare una quantificazione alla lunghezza di
perturbazione e avevo iniziato col valutare il valore del momento alla
distanza dx dall'incastro: M=p(l-dx)^2/2 --> e conseguente σx
Pensavo quindi di imporre le 1) e 2) prendendo per σy e σz il valore
stimato prima per cercare di trovare una qualche legge di variabilità di
σy e σz con x ma le complicazioni matematiche (posto che l'approccio sia
corretto) non sono alla mia portata per cui mi fermo.

In questi conti le approssimazioni sono notevoli: ad esempio non ho
considerato l'interdipendenza fra le condizioni di congruenza interna.

Volevo invece riprendere un argomento del mio post del 15/11 usato anche
qui sopra.
L'estensione dei risultati di DSV anche alle sezioni di vincolo è una
approssimazione che però /funziona/, nel senso che sono tante e tali le
semplificazioni che si fanno nei calcoli ingegneristici che si accetta
anche questa.
D'altra parte la stessa formula per le tensioni tangenziali τ=(VS)/(Jb)
è approssimata: infatti è ricavata con sole considerazioni di equilibrio
ma non di congruenza.
Anche l'equazione della linea elastica (EJy=px^4/24-pl^3x/6+pl^4/8)
considera solo la deformazione flessionale: per tener conto
dell'influenza del taglio bisognerebbe aggiungere a EJy"=pl^2/2 il
contributo tagliante e integrare.


Gianluca
Elio Fabri 15 Dic 2015 17:51
Gianluca ha scritto:
> Sì, l'idea era quella.
Bene.

> Qui stavo pensando al fatto che non abbiamo forze di superficie
> ortogonali a z e y per cui s_y = s_z = 0 però senza dirlo io
> ragionavo fuori dall'incastro. Vedi sotto.
Per cominciare ti ringrazio: mi pare che il tuo post si avvicini a
quello che desideravo.
Ci sono delle differenze di linguaggio, ma credo che possiamo
superarle, con un po' di pazienza :)

Un altro problema, di natura "informatica", sta nelle lettere greche e
altri caratteri...
Ho sempre dei problemi con UTF-8.
Visto che usi Linux, posso spiegare meglio.
Finché leggo il tuo post (e altri) con thunderbird, tutto bene.
Il guaio comincia quando salvo il post per scrivere la risposta
off-line: viene salvato UTF-8 (2 o 3 bytes per carattere) e quando vado
a leggerlo con emacs riesce illeggibile.
Probabilmente non ho capito come va configurato emacs per leggere la
codifica UTF-8.
Quindi sono costretto a riscrivere a mano in ASCII, come ho fatto
sopra, dove il tuo "sigma x" l'ho tradotto in "s_x".

> Ci ho riflettuto un po' e rispondo solo ora per mancanza di tempo e
> solo dopo aver consultato alcuni testi; la risposta non è facile,
> come si capirà nel seguito;
Me l'aspettavo :-)

> ne approfitto anche per chiarire alcune mie risposte in altri post
> che possono aver causato confusione, e per questo mi scuso.
Non ti devi scusare. Comprendo benissimo la situazione, derivante dalla
diversità dei linguaggi e delle consocenze prgresse, che dobbiamo
mettere d'accordo.

> Le condizioni sotto le quali vuoi studiare la trave, all'incastro in
> effetti conducono a considerare uno stato triassiale di tensione.
> Se x è l'asse della trave e z l'asse verticale, l'imposizione che la
> deformazione all'incastro sia nulla nel piano yz conduce ad annullare
> (uso la notazione scalare perché maneggiare i tensori non mi è
> familiare...)
Già, ma per me è l'inverso :-)
Suppongo che s_x ecc. siano le componenti diagonali del tensore degli
sforzi, quelle che io chiamerei s_{xx} ecc. *****ogamente, eps_z è la
compon. diag. del tensore delle deformazioni.

> 1) eps_z = 1/E (s_z - (s_x + s_y)/m)
> 2) eps_y = 1/E (s_y - (s_x + s_z)/m)
>
> dove 1/m= coeff. di Poisson
Sì, queste eq. le conosco.

> Praticamente, appena fuori dalla sezione d'incastro, nella metà
> inferiore la sezione si dilata mentre nella metà superiore si
> restringe.
Intuitivamente è ovvio.

> Dal punto di vista matematico il tuo approccio generale conduce a
> equazioni non risolvibili *****iticamente e difatti lo stesso DSV fu
> costretto a imporre notevoli semplificazioni.
Certo, ma mi domandavo se fossero stati sviluppati metodi di
approssimazione (per es. sviluppo in autofunzioni di qualche genere).

> Si tratta di capire (mi pare che sia questo il tuo obiettivo) quanto
> sia lecito trascurare nella soluzione generale ciò che accade nella
> zona perturbata.
> ...
> e prendendo m=10/3 si ha s_y=s_z=(3/7)s_x quindi non trascurabile.

> D'altra parte stiamo ipotizzando un incastro perfetto, che nella realtà
> non sarà mai.
Anche questo problema mi ero posto, ma non avevo idea di come discuterlo.

> Supponendo, in modo del tutto arbitrario, che la dilatazione
> trasversale nelle 1) e 2) sia dell'ordine di (1/100)eps_x=(1/100)s_x/E
> (per approssimare comunque una situazione vicina all'incastro) si ha
> (se non ho sbagliato i conti):
> s_z=(m+1)/(100m-1)s_x e sostituendo per m il valore 10/3
> s_z=(13/997)s_x che in questo caso è trascurabile.

> Stavo tentando
> ...
> per cui mi fermo.
Sigh...

> In questi conti le approssimazioni sono notevoli: ad esempio non ho
> considerato l'interdipendenza fra le condizioni di congruenza interna.
Che cosa sono le "cond. di congruenza interna"?

> Volevo invece riprendere un argomento del mio post del 15/11 usato
> anche qui sopra.
> L'estensione dei risultati di DSV anche alle sezioni di vincolo è una
> approssimazione che però /funziona/, nel senso che sono tante e tali
> le semplificazioni che si fanno nei calcoli ingegneristici che si
> accetta anche questa.
Posso capirlo: lo scopo dell'ingegneria è di arrivare a prescrizioni
di progetto che forniscano strutture che funzionano (reggono, nel
nostro caso).
La mia curiosità invece è del tutto accademica: esistono modi per
affrontare in modo più rigoroso il problema?
Preciso: "rigoroso non vuol dire *****iticamente esatto, ma anche
apprssimato, però con grado di apporss. stmabile ed eventualmente
migliorabile, occorrendo.
Pensa per es. a tutto quello che si fa nel calcolo di strutture
atomiche...

> D'altra parte la stessa formula per le tensioni tangenziali
> tau=(VS)/(Jb) è approssimata: infatti è ricavata con sole
> considerazioni di equilibrio ma non di congruenza.
Che cos'è tau? Non ce ne sono tre?

> Anche l'equazione della linea elastica (EJy=px^4/24-pl^3x/6+pl^4/8)
> considera solo la deformazione flessionale: per tener conto
> dell'influenza del taglio bisognerebbe aggiungere a EJy"=pl^2/2 il
> contributo tagliante e integrare.
Questo mi è chiaro, ma non me ne ero preoccupato, facendo l'ipotesi
che E sia così grande che non si manifesti flessione apprezzabile.

Comunque, grazie di nuovo.


--
Elio Fabri
Gianluca 16 Dic 2015 11:53
Il 15/12/2015 17:51, Elio Fabri ha scritto:
> Ci sono delle differenze di linguaggio, ma credo che possiamo
> superarle, con un po' di pazienza :)

Sì, penso non sia un problema.

> Un altro problema, di natura "informatica", sta nelle lettere greche e
> altri caratteri...
> Ho sempre dei problemi con UTF-8.
> Visto che usi Linux, posso spiegare meglio.

Siccome io i n.g. li uso e basta, una curiosità: come hai fatto a vedere
che uso Linux?

> Quindi sono costretto a riscrivere a mano in ASCII, come ho fatto
> sopra, dove il tuo "sigma x" l'ho tradotto in "s_x".

Mi adeguo io.

>> (uso la notazione scalare perché maneggiare i tensori non mi è
>> familiare...)
> Già, ma per me è l'inverso :-)

L'argomento "tensori" fa parte di una delle tante dispense che mi sono
scaricato e ripromesso di approfondire. Purtroppo mi manca il tempo :(
Inoltre il formalismo matematico puro mi è diventato di ostacolo: io
ragiono per immagini e l'astrazione con sommatorie su indici ripetuti mi
fa venire il nervoso e mi blocco...

>> Dal punto di vista matematico il tuo approccio generale conduce a
>> equazioni non risolvibili *****iticamente e difatti lo stesso DSV fu
>> costretto a imporre notevoli semplificazioni.
> Certo, ma mi domandavo se fossero stati sviluppati metodi di
> approssimazione (per es. sviluppo in autofunzioni di qualche genere).

Questo mi ha fatto ricordare che nella trattazione di stati piani di
tensione, nelle lastre sottili, si introduce la funzione di Airy.
Devo avere da qualche parte una dispensa ciclostilata in cui si spiegava
il formalismo e dove sono trattati alcuni casi pratici (lastra
incastrata in vari modi e caricata, ecc.).
Potrebbe essere un'idea far ricorso o trarre ispirazione da quella
soluzione per applicarla al tuo caso (sempre che tu ammetta di
considerare uno stato piano di tensione, ad esclusione della zona
d'incastro).
Si tratterebbe comunque di considerare la sezione della tua trave di
spessore piccolo rispetto all'altezza.
Ad ogni modo una ricerca in rete per "funzione di Airy" mi ha aperto un
mondo.
Tutto quello che potrei scriverti io è spiegato molto meglio nei
documenti che ho trovato in rete per cui permettimi di richiamare dei
link a cui fare diretto riferimento per rispondere anche ad alcune
domande che fai nel seguito.

Qua trovi (pag. 166) una semplice introduzione alla funzione di Airy:
http://www.scienzadellecostruzioni.co.uk/Documenti/Franciosi-1/6.%20Stati%20piani%20di%20tensione%20e%20deformazione.pdf

Qui ci sono delle soluzioni per casi particolari, sempre per stati piani
di tensione, che potrebbero darti qualche idea:
http://www.ing.unitn.it/~summer.shahzad/paper/Shahzad_Master_thesis.pdf


>> D'altra parte stiamo ipotizzando un incastro perfetto, che nella realtà
>> non sarà mai.
> Anche questo problema mi ero posto, ma non avevo idea di come discuterlo.
>

Prendo atto di non averti convinto a trascurare le tensioni s_{yy} e
s_{zz} oltre a s_{yx} e s_{yz} (nella tua notazione).
Eppure l'idea di porre un limite alle eps_z e eps_y all'incastro mi
sembrava buona e grossolanamente conduceva a determinare un valore
trascurabile per le tensioni trasversali...

>
>> In questi conti le approssimazioni sono notevoli: ad esempio non ho
>> considerato l'interdipendenza fra le condizioni di congruenza interna.
> Che cosa sono le "cond. di congruenza interna"?

Le condizioni di congruenza interna sono equazioni che tengono conto
della non compenetrabilità (di volumi) e sovrapprosizione (di spigoli)
tra elementi infinitesimi dxdydz contigui.
Coivolgono espressioni nelle derivate seconde delle componenti di
deformazione.
Al link seguente trovi il Bengodi delle formule usate nella teoria
dell'elasticità:
http://www1.unipa.it/giovanni.petrucci/Disp/Teoria%20Elasticita.pdf
In particolare alla prima pagina trovi le sei equazioni di congruenza
interna esplicitate.
Non ho trovato in rete una rappresentazione grafica decente di
compenetrazioni di volumi e sovrapposizioni di spigoli (che ho però in
un libro di testo).
Nel modo rozzo che avevo immaginato di affrontare lo stu***** della zona
perturbata non ho considerato la congruenza interna nel passaggio dalla
sezione di incastro alla sezione lontana dx; penso invece che in qualche
modo bisogna tenerne conto, ma come ho già detto questo va oltre le mie
capacità.

Da quanto sopra immagino che tu abbia affrontato il problema utilizzando
un principio variazionale tipo Principio dei Lavori Virtuali: sarei
curioso di vedere, anche in forma tensoriale, le equazioni alle quali
sei arrivato.
Non potrò aiutarti a risolverle, ovviamente, però mi fa piacere
riprendere cose viste molti anni fa.

>
>> D'altra parte la stessa formula per le tensioni tangenziali
>> tau=(VS)/(Jb) è approssimata: infatti è ricavata con sole
>> considerazioni di equilibrio ma non di congruenza.
> Che cos'è tau? Non ce ne sono tre?
>

Nella tua notazione sono le s_{ij} con i diverso da j
Sono tre e si ha s_{ij}=s_{ji} per ogni i,j per la reciprocità delle
tensioni tangenziali, ma questo lo sai di certo.

> Comunque, grazie di nuovo.

Grazie a te.

Gianluca
ADPUF 18 Dic 2015 20:01
Gianluca 11:53, mercoledì 16 dicembre 2015:
>
>> Visto che usi Linux, posso spiegare meglio.
>
> Siccome io i n.g. li uso e basta, una curiosità: come hai
> fatto a vedere che uso Linux?


Nello header del tuo messaggio:
User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:38.0)
Gecko/20100101 Thunderbird/38.4.0


--
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