Le leggi della Natura
 

Derivazione distribuzione di Gibbs: perche' si linearizza proprio l'entropia?

JTS 11 Mag 2015 16:51
So che per derivare la distribuzione di Gibbs in meccanica statistica ci sono
due strade.


Una e' considerare N copie del sistema, calcolare la probabilita' che le N copie
siano in una determinata configurazione, e poi vedere per quale numero di
occupazione di un determinato stato si ha il massimo numero di configurazioni
equivalenti; i numeri di occupazione saranno poi proporzionali alle probabilita'
di trovare il sistema in ogni stato.



Spero di avere riassunto correttamente perche' so di conoscere male questo
argomento ... e in realta' e la seconda strada che mi interessa capire meglio in
questo momento: considerare l'entropia del serbatoio con cui il sistema e' in
equilibrio e linearizzarla rispetto all'energia. Poi siccome l'entropia e'
proporzionale al logaritmo delle configurazioni segue la distribuzione canonica.


Ci ho pensato un bel po', ma non trovo il bandolo di questa dimostrazione.
Supponiamo di considerare una funzione qualunque del numero di microstati
corrispondenti ad un determinato macrostato, chiamiamola F.


Per un serbatoio, posso linearizzare la F rispetto alle variazioni di energia E
(che possono essere grandi per il sistema di cui voglio conoscere la
distribuzione canonica, ma sono piccole rispetto all'energia totale del
serbatoio), e ottengo

F = F0 + F1*(E-E0)

numero di stati = W = inv_F(F0 + F1*(E-E0))



dove ho indicato con inv_F la funzione inversa della F che pero' e' qualunque.
Quindi con questo metodo di linearizzazione si arriva a qualcosa solo se si sa
in anticipo dover linearizzare l'entropia, cioe' il logaritmo del numero degli
stati. Ma qual e' la ragione per cui e' proprio questa la quantita' gisuta da
linearizzare?

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