Le leggi della Natura
 

Problema ottica ondulatoria

BlueRay 14 Giu 2015 12:39
Si ha un fascio (sottile, es un laser) di luce monocromatica di lunghezza d'onda
L = 6000 angstrom. Se nel percorso del fascio viene introdotta una lamina di
vetro (ortogonale al fascio) di spessore d = 1mm e indice di rifrazione n = 1,2
si ha uno sfasamento fi dell'onda. Cambiando l'inclinazione della lamina e
dunque lo spessore attraversato, si varia lo sfasamento fi. Di quale angolo a si
deve ruotare la lamina affinche' lo sfasamento vari di 2pi?

Ho fatto nel modo seguente.
Introducendo la lamina la fase del fascio passa da 0 a k'*d dove k' = 2pi/L' =
2pi*n*d/L.

Se ruoto la lamina di un angolo a, il percorso diventa d' = d/cos(a) e la fase
varia quindi di 2pi*n*d'/L = 2pi*n*d/(L*cos(a)).

La differenza tra questo valore ed il precedente e' (2pi*n*d/L)*(1/cos(a) - 1).

Invece il libro scrive che la variazione dello sfasamento e'
2pi*(n-1)*d/L)*(1/cos(a) - 1).

Perche'? Dove sbaglio?

--
BlueRay
Giorgio Bibbiani 16 Giu 2015 08:06
BlueRay ha scritto:
> Si ha un fascio (sottile, es un laser) di luce monocromatica di
> lunghezza d'onda L = 6000 angstrom.

Avrebbero potuto scrivere 600 nm, che si legge anche meglio ;-).

> Se nel percorso del fascio viene

> introdotta una lamina di vetro (ortogonale al fascio) di spessore d > 1mm e
indice di rifrazione n = 1,2 si ha uno sfasamento fi dell'onda.
> Cambiando l'inclinazione della lamina e dunque lo spessore
> attraversato, si varia lo sfasamento fi. Di quale angolo a si deve
> ruotare la lamina affinche' lo sfasamento vari di 2pi?
>
> Ho fatto nel modo seguente.
> Introducendo la lamina la fase del fascio passa da 0

Perche' da 0? La fase nel punto di uscita dalla lamina quando
non c'e' ancora la lamina direi che parta da k * d = 2pi d/L,
comunque non importa perche' e' un termine costante.

> a k'*d dove k' = 2pi/L' = 2pi*n*d/L.
>
> Se ruoto la lamina di un angolo a, il percorso diventa d' = d/cos(a)
> e la fase varia quindi di 2pi*n*d'/L = 2pi*n*d/(L*cos(a)).
>
> La differenza tra questo valore ed il precedente e'
> (2pi*n*d/L)*(1/cos(a) - 1).
>
> Invece il libro scrive che la variazione dello sfasamento e'
> 2pi*(n-1)*d/L)*(1/cos(a) - 1).
>
> Perche'? Dove sbaglio?

Il raggio in uscita dalla lamina non ruotata, per raggiungere la stessa
"ascissa" del raggio nel punto in cui esce dalla lamina ruotata e
in cui si confrontano le fasi, deve ancora percorrere *nel vuoto*
un tratto d *(1/cos(a) - 1), il corrispondente sfasamento si somma
a quello iniziale e modifica nel tuo risultato il fattore n in (n - 1),
come e' giusto dato che se n = 1 non si avra' alcuno sfasamento
ruotando la "lamina" fatta di vuoto.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
BlueRay 16 Giu 2015 18:13
Il giorno martedì 16 giugno 2015 15:25:02 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:

Il raggio in uscita dalla lamina non ruotata, per raggiungere la stessa
"ascissa" del raggio nel punto in cui esce dalla lamina ruotata e
in cui si confrontano le fasi, deve ancora percorrere *nel vuoto*
un tratto d *(1/cos(a) - 1), il corrispondente sfasamento si somma
a quello iniziale e modifica nel tuo risultato il fattore n in (n - 1),
come e' giusto dato che se n = 1 non si avra' alcuno sfasamento
ruotando la "lamina" fatta di vuoto.

Hai ragione!
Detto in modo leggermente diverso, il cammino ottico prima e':
nd - d = (n-1)*d e il cammino ottico dopo e':
nd/cos(a) - d/cos(a) = (n-1)*d/cos(a). La differenza tra i due e' quindi:
(n-1)*d/cos(a) - (n-1)*d = (n-1)*d*(1/cos(a) - 1).
Grazie.
Ciao.

--
BlueRay
Elio Fabri 16 Giu 2015 21:35
BlueRay ha scritto:
> Detto in modo leggermente diverso, il cammino ottico prima e':
> ...
Secondo me state amncora commettendo un errore.
Per mancanza di tempo dico solo una parola: "rifrazione".
Spero che basti a illuminarvi :-)


--
Elio Fabri
Giorgio Bibbiani 17 Giu 2015 07:33
Elio Fabri ha scritto:
> Secondo me state amncora commettendo un errore.
> Per mancanza di tempo dico solo una parola: "rifrazione".
> Spero che basti a illuminarvi :-)

Era la prima (!) cosa a cui avevo pensato, ma poi dato che altrimenti
il calcolo sarebbe risultato piu' complicato e il risultato diverso da
quello indicato nel testo, e i raggi in uscita dalla lamina prima e dopo
la rotazione sarebbero stati diversi e non sarebbe stato evidente quale
avrebbe dovuto essere il punto comune (?) in cui calcolare lo sfasamento
tra prima e dopo la rotazione, ho inteso che si chiedesse di calcolare
comunque la differenza di fase nel punto appena oltre la lamina
ruotata e *allineato* con il raggio incidente (*****ogamente a come si
calcolano gli sfasamenti negli integrali sui cammini, anche se i
cammini non corrispondono alla traiettoria del moto reale).

Questa mia supposizione e' sbagliata (immagino...) per qualche
altro motivo?

Ciao e grazie :-)

--
Giorgio Bibbiani
Elio Fabri 19 Giu 2015 21:29
Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Era la prima (!) cosa a cui avevo pensato, ma poi dato che altrimenti
> il calcolo sarebbe risultato piu' complicato e il risultato diverso da
> quello indicato nel testo,
LOL...
E se il risultato indicato fosse sbagliato?

> e i raggi in uscita dalla lamina prima e dopo la rotazione sarebbero
> stati diversi e non sarebbe stato evidente quale avrebbe dovuto essere
> il punto comune (?) in cui calcolare lo sfasamento tra prima e dopo la
> rotazione, ho inteso che si chiedesse di calcolare comunque la
> differenza di fase nel punto appena oltre la lamina ruotata e
> *allineato* con il raggio incidente (*****ogamente a come si calcolano
> gli sfasamenti negli integrali sui cammini, anche se i cammini non
> corrispondono alla traiettoria del moto reale).
>
> Questa mia supposizione e' sbagliata (immagino...) per qualche
> altro motivo?
Yessir :-) e suppongo che anche il testo abbia fatto lo stesso errore.
Se ti metti da un ount di vista ondulatorio, devi usare non i raggi ma
i fronti d'onda.
Per aiutarti ho prodotto una figura:
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig17.pdf

Le linee oblique marcate sono i bordi della lamina.
La spezzata blu è il raggio che si rifrange due volte, ed esce
parallelo a come è entrato.
Le due spezzate rosse sono due fronti d'onda, all'entrata e all'uscita.
E' tra questi che va calcolato lo sfasamento, confrontandolo con quello
senza lamina, che si legge usando il fronte d'onda tratteggiato.

Spiegazione: se la lamina facesse per es. parte di un interferometro,
l'onda piana incidente verrebbe da una sorgente puntiforme posta nel
fuoco di una lente, e l'onda piana uscente verrebbe raccolta da una
seconda lente, che formerebbe un'immagine puntiforme nel secondo fuoco.
Rifletti: se ruoti la lamina, l'immagine si sposta?

Il cammino ottico lo devi calcolare tra sorgente e immagine, ma per
definizione di lente "perfetta" il cammino lungo qualsiasi raggio tra
la sorgente e l'onda piana incidente è sempre lo stesso.
*****ogamente è lo stesso il cammino lungo ogni raggio tra l'onda piana
uscente e l'immagine.
Ecco perché ciò che conta è il cammino ottico tra le due sup. d'onda
entrante e uscente.
La diff. dei cammini ottici non è che n AC - AD.
Lascio a te dimostrare che vale

d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i)]

dove d è lo spessore della lastra.

Se segui l'approccio alla Feynman calcolerai la fase lungo un raggio,
ma non cambia niente, visto che i raggi sono normali alle sup. d'onda.


--
Elio Fabri
BlueRay 19 Giu 2015 23:59
Il giorno venerdì 19 giugno 2015 21:42:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
...
E se il risultato indicato fosse sbagliato?

Gia'. A questo punto e' evidente.

Fabri:
Yessir :-) e suppongo che anche il testo abbia fatto lo stesso errore.
Se ti metti da un ount di vista ondulatorio, devi usare non i raggi ma
i fronti d'onda.
Per aiutarti ho prodotto una figura:
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig17.pdf
Le linee oblique marcate sono i bordi della lamina.
La spezzata blu è il raggio che si rifrange due volte, ed esce
parallelo a come è entrato.
Le due spezzate rosse sono due fronti d'onda, all'entrata e all'uscita.
E' tra questi che va calcolato lo sfasamento, confrontandolo con quello
senza lamina, che si legge usando il fronte d'onda tratteggiato.
Spiegazione: se la lamina facesse per es. parte di un interferometro,
l'onda piana incidente verrebbe da una sorgente puntiforme posta nel
fuoco di una lente, e l'onda piana uscente verrebbe raccolta da una
seconda lente, che formerebbe un'immagine puntiforme nel secondo fuoco.
Rifletti: se ruoti la lamina, l'immagine si sposta?

No perche' i raggi in uscita rimangono paralleli tra loro e una lente focalizza
in uno stesso punto raggi diversi ma paralleli.

Fabri:
Il cammino ottico lo devi calcolare tra sorgente e immagine, ma per
definizione di lente "perfetta" il cammino lungo qualsiasi raggio tra
la sorgente e l'onda piana incidente è sempre lo stesso.
*****ogamente è lo stesso il cammino lungo ogni raggio tra l'onda piana
uscente e l'immagine.
Ecco perché ciò che conta è il cammino ottico tra le due sup. d'onda
entrante e uscente.
La diff. dei cammini ottici non è che n AC - AD.
Lascio a te dimostrare che vale
d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i)]



Viene cosi' anche a me: nAC - AD = nd/cos(r) - dcos(i-r)/cos(r) e da
sin(i)/sin(r) = n si trova cos(r), si sostituisce e dopo pochi passaggi si trova
quella, che rappresenta lo sfasamento dopo aver ruotato la lamina. Lo sfasamento
prima della rotazione e' nd - d = (n-1)d e allora la differenza tra i due
sfasamenti e' d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i) - n + 1].
Usando le approssimazioni si dimostra che tale espressione vale circa:
d*(n-1)*(1/cos(i) - 1) per i piccolo.

Ciao e grazie!

--
BlueRay
Giorgio Bibbiani 20 Giu 2015 08:11
Elio Fabri ha scritto:
> Giorgio Bibbiani ha scritto:
>> Era la prima (!) cosa a cui avevo pensato, ma poi dato che altrimenti
>> il calcolo sarebbe risultato piu' complicato e il risultato diverso
>> da quello indicato nel testo,
> LOL...
> E se il risultato indicato fosse sbagliato?

Era una ******* ;-), e' piu' probabile che mi sbagli io piuttosto
che l'autore, che comunque ne sa piu' di me ;-).

>> e i raggi in uscita dalla lamina prima e dopo la rotazione sarebbero
>> stati diversi e non sarebbe stato evidente quale avrebbe dovuto
>> essere il punto comune (?) in cui calcolare lo sfasamento tra prima
>> e dopo la rotazione, ho inteso che si chiedesse di calcolare
>> comunque la differenza di fase nel punto appena oltre la lamina
>> ruotata e *allineato* con il raggio incidente (*****ogamente a come
>> si calcolano gli sfasamenti negli integrali sui cammini, anche se i
>> cammini non corrispondono alla traiettoria del moto reale).
>>
>> Questa mia supposizione e' sbagliata (immagino...) per qualche
>> altro motivo?
> Yessir :-) e suppongo che anche il testo abbia fatto lo stesso errore.

Una domanda per mia curiosita' a BlueRay:
il problema che hai riportato era quello letterale, da dove lo hai tratto?

> Se ti metti da un ount di vista ondulatorio, devi usare non i raggi ma
> i fronti d'onda.
> Per aiutarti ho prodotto una figura:
> http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig17.pdf

Grazie mille, Elio.

> Le linee oblique marcate sono i bordi della lamina.
> La spezzata blu è il raggio che si rifrange due volte, ed esce
> parallelo a come è entrato.
> Le due spezzate rosse sono due fronti d'onda, all'entrata e
> all'uscita. E' tra questi che va calcolato lo sfasamento,
> confrontandolo con quello senza lamina, che si legge usando il fronte
> d'onda tratteggiato.
>
> Spiegazione: se la lamina facesse per es. parte di un interferometro,
> l'onda piana incidente verrebbe da una sorgente puntiforme posta nel
> fuoco di una lente, e l'onda piana uscente verrebbe raccolta da una
> seconda lente, che formerebbe un'immagine puntiforme nel secondo
> fuoco.

Eh, mi mancava (anche) questo contesto per dare un senso al problema...

> Rifletti: se ruoti la lamina, l'immagine si sposta?

Ovviamente no, perche' i raggi uscenti dalla lamina rimangono
paralleli a quelli incidenti e continuano a convergere nel fuoco.

> Il cammino ottico lo devi calcolare tra sorgente e immagine, ma per
> definizione di lente "perfetta" il cammino lungo qualsiasi raggio tra
> la sorgente e l'onda piana incidente è sempre lo stesso.
> *****ogamente è lo stesso il cammino lungo ogni raggio tra l'onda piana
> uscente e l'immagine.

OK, e' la condizione richiesta perche' si formi un'immagine,
le onde devono arrivare in fase nel punto immagine.

> Ecco perché ciò che conta è il cammino ottico tra le due sup. d'onda
> entrante e uscente.
> La diff. dei cammini ottici non è che n AC - AD.
> Lascio a te dimostrare che vale
>
> d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i)]
>
> dove d è lo spessore della lastra.

Si', ho ripetuto il calcolo e mi torna, aggiungo che dato
che il testo originale chiedeva:

"Di quale angolo a si deve ruotare la lamina affinche' lo
sfasamento vari di 2pi?"

mi sembra che si dovrebbe calcolare la variazione del cammino
ottico quando la lamina inizialmente diretta normalmente rispetto
al raggio incidente viene successivamente ruotata, direi che basterebbe
fare la differenza tra il valore sopra scritto e quello per i = 0 rad:

d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i) - n + 1],

ed eguagliare il risultato sopra al valore della lunghezza d'onda nel vuoto.

> Se segui l'approccio alla Feynman calcolerai la fase lungo un raggio,
> ma non cambia niente, visto che i raggi sono normali alle sup. d'onda.

Grazie ancora :-).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
BlueRay 25 Giu 2015 17:07
Il giorno giovedì 25 giugno 2015 12:45:02 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> BlueRay ha scritto:
>
>> Usando le approssimazioni si dimostra
>> che tale espressione vale circa:
>> d*(n-1)*(1/cos(i) - 1) per i piccolo.
>
> Quasi ;-), nella seconda espressione sopra
> manca un fattore 1/n.

Orca miseria, hai ragione!
Mannaggia la fretta...
Allora l'autore non ha manco la scusante che il calcolo andava bene per piccoli
angoli :-)
L'Esercizio e' il 3.1 a) del libro che ho linkato, ho l'edizione 2003.

--
BlueRay

Links
Giochi online
Dizionario sinonimi
Leggi e codici
Ricette
Testi
Webmatica
Hosting gratis
   
 

Le leggi della Natura | Tutti i gruppi | it.scienza.fisica | Notizie e discussioni fisica | Fisica Mobile | Servizio di consultazione news.