Le leggi della Natura
 

Realismo locale e disuguaglianza di Bell

BlueRay 18 Lug 2015 10:50
Bell ha dimostrato con la disuguaglianza che porta il suo nome che il realismo
locale non e' compatibile con la MQ in quanto questa viola la disuguaglianza e
gli esperimenti di Aspect ed altri hanno dimostrato che i risultati sono quelli
previsti dalla MQ ovvero che il realismo locale non puo' essere piu' considerato
come una possibile interpretazione valida.


Qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da indicarmi i punti deboli di
un'interpretazione in cui si ammette la realta' delle grandezze come la
componente lungo una certa direzione dello spin di una particella, ma che questa
viene distrutta dalla misura della grandezza complementare?

--
BlueRay
Bruno Cocciaro 19 Lug 2015 23:57
"BlueRay" ha scritto nel messaggio
news:d601fe69-99e9-4cde-b148-63566ffd6821@googlegroups.com...

> Bell ha dimostrato con la disuguaglianza che porta il suo nome che il
> realismo locale non e' compatibile con la MQ in quanto questa viola la
> disuguaglianza e gli esperimenti di Aspect ed altri hanno dimostrato che i
> risultati sono quelli previsti dalla MQ ovvero che il realismo locale non
> puo' essere piu' considerato come una possibile interpretazione valida.
>
> Qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da indicarmi i punti deboli di
> un'interpretazione in cui si ammette la realta' delle grandezze come la
> componente lungo una certa direzione dello spin di una particella, ma che
> questa viene distrutta dalla misura della grandezza complementare?

Ci provo, anche con lo scopo, forse primario, di "mettermi alla prova",
cioe' di controllare la correttezza di cio' che avrei capito io. Di sicuro
interverra' qualcuno a correggere mie eventuali inesattezze o errori.
Intanto non direi che la violazione della disuguaglianza di Bell proverebbe
che "il realismo locale non e' compatibile con la MQ". Certo, ci sarebbe da
intendersi sul significato da dare alla parola "locale", ma andiamo per
gradi.
Tu proponi di ammettere "la realta' delle grandezze come la componente lungo
una certa direzione dello spin di una particella" e, a mio avviso, andrebbe
specificato cosa si intende con una tale ammissione. A me parrebbe che si
debba intendere qualcosa del genere:
una descrizione *completa* dello stato di una particella dovrebbe contenere
il valore di una qualche variabile (o insieme di variabili) X dalla cui
conoscenza potremmo essere in grado di prevedere (almeno statisticamente) il
risultato di una qualsiasi misura MX.
Nella sostanza potremmo dire che, nel momento in cui viene effettuata la
misura, la particella ha "realmente" la grandezza G al valore X1, tant'e'
vero che otterremmo certamente l'esito "si'" qualora effettuassimo la misura
MX1; otterremmo con probabilita' p il risultato "si'" qualora effettuassimo
la generica misura MX, e otterremmo certamente il risultato "no" qualora
effettuassimo la misura MX1_ort.

Ipotizzo che tu concordi con il significato che ho dato sopra alla tua
"ammissione", e passo al punto successivo.
La tua proposta e' che la "realta'" della grandezza G (il suo essere
"realmente" al valore X1) venga "distrutta" dalla misura MX_c. Cioe' la
particella aveva "realmente" (nel senso detto sopra) la grandezza G al
valore X1, pero', a seguito della misura MX1_c (misura che da' al 50% il
risultato si' e al 50% il risultato no) la grandezza G non si trovera' piu'
"realmente" al valore X1, ma si trovera' "realmente" al valore X1_c o al
valore X1_cOrt (a seconda che l'esito della misura sia stato si' o no)

Bene, se ci siamo fin qui, cioe' se ho ben interpretato cio' che vuoi dire,
possiamo passare alla disuguaglianza di Bell.
Per come l'ho capito io, il teorema di Bell non e' in contrasto nello
specifico con quanto detto sopra. Il problema e' piu' a monte.
Il punto e' che *se* ammettessimo che in un sistema di due particelle in uno
stato entangled entrambe le particelle, prima della misura, si trovino
"realmente" in un certo stato tale che, ad esempio, la grandezza G sia
realmente al valore Xa per una particella e al valore Xb per l'altra (cioe'
se esistessero delle variabili in grado di descrivere lo stato di ciascuna
delle due particelle), *allora* la disuguaglianza di Bell non dovrebbe
essere violata. Cioe' il problema si pone indipendentemente dall'eventuale
"distruzione" dell'esistenza "reale" di una grandezza ad opera di una certa
misura.

> BlueRay

Ciao,
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
BlueRay 21 Lug 2015 17:24
Il giorno lunedì 20 luglio 2015 00:00:02 UTC+2, Bruno Cocciaro ha scritto:
> "BlueRay" ha scritto:

BlueRay:
Bell ha dimostrato con la disuguaglianza che porta il suo nome che il
realismo locale non e' compatibile con la MQ in quanto questa viola la
disuguaglianza e gli esperimenti di Aspect ed altri hanno dimostrato che i
risultati sono quelli previsti dalla MQ ovvero che il realismo locale non
puo' essere piu' considerato come una possibile interpretazione valida.
Qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da indicarmi i punti deboli di
un'interpretazione in cui si ammette la realta' delle grandezze come la
componente lungo una certa direzione dello spin di una particella, ma che
questa viene distrutta dalla misura della grandezza complementare?

Bruno Cocciaro:
Ci provo, anche con lo scopo, forse primario, di "mettermi alla prova",
cioe' di controllare la correttezza di cio' che avrei capito io. Di sicuro
interverra' qualcuno a correggere mie eventuali inesattezze o errori.


Ciao Bruno. Innanzitutto grazie per la risposta.


Bruno Cocciaro:
Intanto non direi che la violazione della disuguaglianza di Bell proverebbe
che "il realismo locale non e' compatibile con la MQ". Certo, ci sarebbe da
intendersi sul significato da dare alla parola "locale", ma andiamo per
gradi.
Tu proponi di ammettere "la realta' delle grandezze come la componente lungo
una certa direzione dello spin di una particella" e, a mio avviso, andrebbe
specificato cosa si intende con una tale ammissione. A me parrebbe che si
debba intendere qualcosa del genere:
una descrizione *completa* dello stato di una particella dovrebbe contenere
il valore di una qualche variabile (o insieme di variabili) X dalla cui
conoscenza potremmo essere in grado di prevedere (almeno statisticamente) il
risultato di una qualsiasi misura MX.
Nella sostanza potremmo dire che, nel momento in cui viene effettuata la
misura, la particella ha "realmente" la grandezza G al valore X1, tant'e'
vero che otterremmo certamente l'esito "si'" qualora effettuassimo la misura
MX1; otterremmo con probabilita' p il risultato "si'" qualora effettuassimo
la generica misura MX, e otterremmo certamente il risultato "no" qualora
effettuassimo la misura MX1_ort.
Ipotizzo che tu concordi con il significato che ho dato sopra alla tua
"ammissione", e passo al punto successivo.


Non mi e' chiaro cosa intendi con "tant'e'vero che otterremmo certamente
l'esito "si'"qualora effettuassimo la misura MX1". Intendi che: "qualora
misurassimo la grandezza G la troveremmo certamente al valore X1"?

Es: G e' la componente z dello spin, S_z, ed ha +1 e -1 (in unita' di
hbar/2) come valori possibili. (Questi due valori possibili di S_z sono cio'
che tu hai indicato con MX1 e MX1_ort?) Dire che la particella
"ha realmente S_z al valore +1" significa che se vado a misurare S_z trovero'
sicuramente S_z = 1.

Una grandezza complementare di G (cioe' di S_z) e', ad es, S_x (o S_y).


Bruno Cocciaro:
La tua proposta e' che la "realta'" della grandezza G (il suo essere
"realmente" al valore X1) venga "distrutta" dalla misura MX_c. Cioe' la
particella aveva "realmente" (nel senso detto sopra) la grandezza G al
valore X1, pero', a seguito della misura MX1_c...

L'avrei chiamata caso mai MG_c, nel senso di "grandezza fisica
complementare a G". Ma se il significato che intendevi e' questo, va bene.


Bruno Cocciaro:

(misura che da' al 50% il risultato si' e al 50% il risultato no) la grandezza
G non si trovera' piu' "realmente" al valore X1, ma si trovera' "realmente" al
valore X1_c o al valore X1_cOrt (a seconda che l'esito della misura sia stato
si' o no).


Qui non ci siamo piu' molto perche' non capisco che cosa intendi con "X1_c,
X1_cOrt". Non e' che forse intendevi: "la grandezza G_c, cioe' quella
complementare a G (ad es S_x), si trovera' realmente ad altri valori
(es +1 o -1)"?

Se l'esempio delle componenti di spin non ti piace usane un'altro,
ma a questo punto credo sia utile farne uno specifico se non altro per
poterci comprendere :-)


Bruno Cocciaro:
Bene, se ci siamo fin qui, cioe' se ho ben interpretato cio' che vuoi dire,
possiamo passare alla disuguaglianza di Bell.
Per come l'ho capito io, il teorema di Bell non e' in contrasto nello
specifico con quanto detto sopra. Il problema e' piu' a monte.
Il punto e' che *se* ammettessimo che in un sistema di due particelle in uno
stato entangled entrambe le particelle, prima della misura, si trovino
"realmente" in un certo stato tale che, ad esempio, la grandezza G sia
realmente al valore Xa per una particella e al valore Xb per l'altra (cioe'
se esistessero delle variabili in grado di descrivere lo stato di ciascuna
delle due particelle), *allora* la disuguaglianza di Bell non dovrebbe
essere violata. Cioe' il problema si pone indipendentemente dall'eventuale
"distruzione" dell'esistenza "reale" di una grandezza ad opera di una certa
misura.


Prepariamo uno stato in modo che l'esito di una misura di S_z sia con
certezza il valore +1. Ad es possiamo far passare atomi d'Ag da un apparato
tipo Stern-Gerlach orientato come z; all'uscita gli atomi verranno deviati
e si divideranno in due fasci: uno verso le z positive e l'altro verso le z
negative. Seleziono tutte le particelle del fascio verso le z positive, cosi'
tutte hanno S_z = +1 con certezza. Infatti se faccio passare tali atomi da
un'altro apparato uguale, tutti gli atomi verrano deviati verso l'alto.

Dopodiche' eseguo una misura di S_x ovvero faccio passare quelle particelle
che ho selezionato (con S_z = +1) in un apparato uguale ma orientato come x.
Come sappiamo il risultato e' che il fascio si dividera' in due: il 50% delle
particelle verra' deviata verso le x negative (primo fascio) e l'altro 50%
verso le x positive (secondo fascio).

Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo, realmente
S_x al valore +1.
Il fatto che il risultato del secondo esperimento, cioe' di misura di S_x,
fornisca il valore +1 nel 50% dei casi ed il valore -1 nell'altro 50% viene
interpretato nel senso che "la singola particella che fornisce l'esito +1
aveva realmente tale valore anche prima della misura; la singola particella
che fornisce l'esito -1 aveva realmente tale valore anche prima della misura".



Quello che invece propongo come "idea di interpretazione" (ammesso che possa
realmente rappresentare una interpretazione corretta della MQ) e' che, anche se
prima della misura di S_x la particella aveva realmente S_z = 1, la misura della
grandezza fisica S_x altera, nel senso di distruggerlo, lo stato di
realta' della grandezza S_z della particella, ovvero dopo tale misura la
particella non ha piu' un valore ben definito di S_z.
Quindi sarebbe una sorta di "realismo parziale" :-)
Quello che non mi e' ben chiaro e se questo "realismo parziale" sia o meno
diversa dall'interpretazione standard della MQ o se siano di fatto la stessa
cosa.

--
BlueRay
BlueRay 25 Lug 2015 13:19
Il giorno venerdì 24 luglio 2015 23:18:03 UTC+2, Bruno Cocciaro ha scritto:
> "BlueRay" ha scritto:
Non mi e' chiaro cosa intendi con "tant'e'vero che otterremmo certamente
l'esito "si'"qualora effettuassimo la misura MX1". Intendi che: "qualora
misurassimo la grandezza G la troveremmo certamente al valore X1"?
Es: G e' la componente z dello spin, S_z, ed ha +1 e -1 (in unita' di
hbar/2) come valori possibili. (Questi due valori possibili di S_z sono
cio' che tu hai indicato con MX1 e MX1_ort?) Dire che la particella "ha
realmente S_z al valore +1" significa che se vado a misurare S_z trovero'
sicuramente S_z = 1.
Una grandezza complementare di G (cioe' di S_z) e', ad es, S_x (o S_y).

Bruno Cocciaro:
Si', volevo intendere quanto dici sopra. A parte il fatto che io assocerei
la parola "grandezza" all'ente "spin" e, cercando di interpretare le tue
parole, alla proposizione "la grandezza fisica spin e' realmente al valore
S_z=1" avrei dato il significato "se si effettua sull'elettrone la misura
S_z si ottiene certamente il valore +1".



In questo caso hai ragione a parlare di un'unica grandezza fisica che e' lo spin
e la mia terminologia era un po' imprecisa. Ma essendo lo spin un vettore, direi
che non e' tanto giusto nemmeno scrivere "se si effettua sull'elettrone la
misura S_z..." e direi invece "se si effettua sull'elettrone la misura _di_
S_z..."

Bruno Cocciaro:
S_x, S_y e S_z io le chiamerei
_misure_ complementari (della stessa grandezza fisica, lo spin). Pero' non
ho idea di quale debba essere, in MQ, la maniera corretta di utilizzo delle
parole "grandezza fisica" e "misura"


"misure complementari" non mi suona giusto, ma nemmeno "misura di grandezze
fisiche complementari" perche' appunto come hai giustamente rilevato, e' sempre
la stessa grandezza fisica. Allora e' meglio chiamarle "osservabili
complementari" e basta, specificando poi quali sono :-)

BlueRay:
Se l'esempio delle componenti di spin non ti piace usane un'altro, ma a
questo punto credo sia utile farne uno specifico se non altro per poterci
comprendere :-)

Bruno Cocciaro:
In effetti preferisco di gran lunga l'esempio della polarizzazione di un
fotone per il quale capisco quale è una possibile terna di misure
complementari (posto che sia corretto l'uso che faccio io della parola
misura): polarizzazione verticale (in uscita il fotone sarà nello stato V o
H), polarizzazione 45° (in uscita il fotone sarà nello stato 45° o -45°),
polarizzazione circolare (in uscita il fotone sarà nello stato circolare
destro o circolare sinistro).

Un momento. Lasciando stare quella circolare, direi che complementari sono
quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?

Bruno Cocciaro:
Per lo spin di un elettrone che si propaga lungo l'asse x, capisco come si
possono effettuare le misure S_z e S_y (si mettono le espansioni dei magneti
dirette, rispettivamente, lungo z o lungo y), non capisco come si può
effettuare la misura S_x.

Hai ragione, avevo scritto una cosa errata.

BlueRay:
Prepariamo uno stato in modo che l'esito di una misura di S_z sia con
certezza il valore +1.
[...]
Dopodiche' eseguo una misura di S_x ovvero faccio passare quelle
particelle che ho selezionato (con S_z = +1) in un apparato uguale ma
orientato come x. Come sappiamo il risultato e' che il fascio si dividera'
in due: il 50% delle particelle verra' deviata verso le x negative (primo
fascio) e l'altro 50% verso le x positive (secondo fascio).
Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo,
realmente S_x al valore +1.

Bruno Cocciaro:
Mah, non saprei. Oppure direi che dipenda da cosa si intende con
"interpretazione a variabili nascoste". Per come la vedo io, una
interpretazione a variabili nascoste, che sia completa, dovrebbe
semplicemente permettere di prevedere l'esito di S_x quale che sia il punto
in cui tale misura viene effettuata. Ad esempio, misurando S_x su un
elettrone precedentemente preparato allo stato S_z = 1, l'interpretazione
completa potrebbe prevedere che l'esito sara' "+" se la misura viene
effettuata all'interno degli intervalli [x0+2*n*dx,x0+2*(n+1)*dx] e sara'
"-" se la misura viene effettuata all'interno degli intervalli
[x0+2*(n+1)*dx,x0+2*(n+2)*dx].

Scusa ma questa non l'ho capita :-)

Bruno Cocciaro:
Una cosa del genere certo non permetterebbe di dire, prima della misura S_x,
che l'elettrone "ha realmente S_x al valore +1".


Ma infatti io avevo scritto che dopo la misura di S_z viene effettuata una
misura di S_x e che viene selezionato il fascio che va nelle x positive (S_x =
+1).

BlueRay:
Quello che invece propongo come "idea di interpretazione" (ammesso che
possa realmente rappresentare una interpretazione corretta della MQ) e'
che, anche se prima della misura di S_x la particella aveva realmente S_z
= 1, la misura della grandezza fisica S_x altera, nel senso di
distruggerlo, lo stato di realta' della grandezza S_z della particella,
ovvero dopo tale misura la particella non ha piu' un valore ben definito
di S_z.

Bruno Cocciaro:
E questo, per come pare a me, non costituirebbe alcun problema. Puo' darsi
che un fisico ortodosso non accetti una tale visione, ma, finche' si rimane
a questo punto (cioe' finche' non si introduce la disuguaglianza di Bell) il
reale nocciolo della battaglia fra fisico ortodosso e fisico classico non
viene ancora toccato.







Ma il punto e' che la proposta di interpretazione che ho descritto, ad una prima
*****isi approssimata che ho fatto, e' conforme al risultato della MQ in quanto
non ci sono due osservabili complementari che hanno un valore ben definito
assieme. Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della disuguaglianza di
Bell da un'articolo su "Le Scienze" di una ventina d'anni fa, purtroppo non
ricordo l'autore (forse d'Espagnat?) ne' il titolo (forse "La teoria dei quanti
e la realta' "?), ma ricordo che utilizzava le varie componenti di spin di
particelle (protoni?) e che c'erano delle figure colorate :-) e mi sembro' di
capire che quella disuguaglianza nasceva dal pretendere che una particella
possedesse simultaneamente due valori ben definiti di osservabili complementari.
Infatti scriveva qualcosa del tipo: [nell'ipotesi di realismo locale ovvero di
variabili nascoste] se si indica con N_x(+) il numero di particelle che hanno
S_x = +1, allora tale numero e' la somma di quelle che hanno S_y = +1 e di
quelle che hanno S_y = -1.


Da semplici considerazioni insiemistiche come questa, l'autore dell'articolo
dimostrava la disuguaglianza di Bell e questo fatto, ovvero che venivano
utilizzate semplici considerazioni di quel tipo, mi ha stimolato a cercare di
comprendere quale o quali fossero i punti essenziali della questione.
Ciao.

--
BlueRay
BlueRay 25 Lug 2015 13:36
Ho trovato l'articolo su Le Scienze di cui ho scritto nel mio post di qualche
minuto fa:

http://www.scientificamerican.com/media/pdf/197911_0158.pdf

--
BlueRay
Bruno Cocciaro 27 Lug 2015 18:56
Il giorno lunedì 27 luglio 2015 02:15:03 UTC+2, BlueRay ha scritto:


> Ma infatti io avevo scritto che dopo la misura di S_z viene effettuata una
misura di S_x e che viene selezionato il fascio che va nelle x positive (S_x =
+1).

ma al precedente post avevi scritto:


"Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo, realmente S_x
al valore +1."



e quello che vorrei fare presente e' che *dipende* da cosa intendi con
"interpretazione a variabili nascoste". L'aver misurato S_z su un certo
elettrone, *anche* in una possibile teoria a variabili nascoste, *non*
garantisce che l'esito futuro di ulteriori misure di S_z dara' sempre lo stesso
esito. Questo almeno per come io ho capito le possibili teorie a variabili
nascoste.
Poniamo di misurare
S_z nel punto x=x1, poi
S_y nel punto x=x2, poi
nuovamente S_z in un punto x=x3.

A me non pare proprio che una interpretazione a variabili nascoste sia tenuta a
prevedere che si debbano avere gli stessi esiti nelle due misure S_z, effettuate
rispettivamente in x1 e x3.

L'interpretazione a variabili nascoste, se e' *completa*, deve essere in grado
di prevedere gli esiti delle 3 misure (posta la conoscenza delle variabili
nascoste), ma gli esiti delle due misure di S_z possono anche essere diversi.
Anche la misura di S_y potrebbe avere esito diverso qualora venisse effettuata
in x=x2'=/=x2.

Questo perche', ad esempio, la variabile nascosta che descrive l'esito che deve
avere la misura S_y potrebbe dipendere dal tempo e l'elettrone passa in x2' in
un istante diverso da quello in cui passa in x2.

> Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della disuguaglianza di Bell da
un'articolo su "Le Scienze" di una ventina d'anni fa

Se si passa alla disuguaglianza di Bell allora certamente non si puo' avere a
che fare con un solo elettrone, ce ne vogliono almeno due.


E se si vuole sottoporre a critica una proposizione tipo "l'elettrone A ha
realmente S_z=1" si deve inserire quella proposizione nell'ambito di cio' che si
fa durante le misure EPR. In quelle misure su ciascun elettrone si esegue una
sola misura. Non si esegue S_x e poi, sullo stresso elettrone, si esegue S_y.

Il punto e' che (sempre per come l'ho capita io e nella speranza di conferme
autorevoli), se esistesse un qualche "codice", un qualche insieme di variabili
nascoste, che potrebbe permettere di prevedere che
eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,
e
eseguendo "adesso" la misura MB sull'elettrone B si otterrebbe l'esito eB,
per generiche misure MA e MB,
allora gli esiti eA ed eB non potranno in generale rispettare le previsioni
della MQ ortodossa.

Una eventuale teoria a variabili nascoste che prevedesse che
eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,

e poi, eseguendo "fra un secondo", sempre sull'elettrone A, una nuova misura MA'
si avrebbe l'esito eA' (misura che "distruggerebbe" la "realta'" dell'essere
l'elettrone nello stato eA per portarlo "realmente" nello stato eA') e che fosse
in grado di fare previsioni *****oghe per l'elettrone B,
sarebbe comunque una teoria a variabili nascoste che porterebbe comunque a non
violazione della disuguaglianza di Bell.

> BlueRay

Ciao,
Bruno Cocciaro.
BlueRay 28 Lug 2015 19:21
Il giorno lunedì 27 luglio 2015 19:00:03 UTC+2, Bruno Cocciaro ha scritto:
BlueRay ha scritto:
Ma infatti io avevo scritto che dopo la misura di S_z viene effettuata una
misura di S_x e che viene selezionato il fascio che va nelle x positive
(S_x = +1).

Bruno Cocciaro:
ma al precedente post avevi scritto:

"Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo,
realmente S_x al valore +1."

e quello che vorrei fare presente e' che *dipende* da cosa intendi con
"interpretazione a variabili nascoste". L'aver misurato S_z su un certo
elettrone, *anche* in una possibile teoria a variabili nascoste, *non*
garantisce che l'esito futuro di ulteriori misure di S_z dara' sempre lo
stesso esito. Questo almeno per come io ho capito le possibili teorie a
variabili nascoste.
Poniamo di misurare
S_z nel punto x=x1, poi
S_y nel punto x=x2, poi
nuovamente S_z in un punto x=x3.
A me non pare proprio che una interpretazione a variabili nascoste sia tenuta
a prevedere che si debbano avere gli stessi esiti nelle due misure S_z,
effettuate rispettivamente in x1 e x3.




A me sembrava invece di si, ma a questo punto aspettiamo il parere di eventuali
altri. Comunque quando dici "misurare S_z e poi S_y", intendi, come avevo detto
io, che si seleziona uno dei due fasci dopo la prima misura (il fascio "+") e
poi si seleziona su questo uno dei due fasci dopo la seconda, e si effettua la
terza, o no? Perche' a me sembrava che in questo modo, gia' dopo la prima misura
si fossero selezionate le particelle che hanno definitivamente S_z = +1.

Bruno Cocciaro:
L'interpretazione a variabili nascoste, se e' *completa*, deve essere in grado
di prevedere gli esiti delle 3 misure (posta la conoscenza delle variabili
nascoste), ma gli esiti delle due misure di S_z possono anche essere diversi.
Anche la misura di S_y potrebbe avere esito diverso qualora venisse effettuata
in x=x2'=/=x2.
Questo perche', ad esempio, la variabile nascosta che descrive l'esito che
deve avere la misura S_y potrebbe dipendere dal tempo e l'elettrone passa in
x2' in un istante diverso da quello in cui passa in x2.

Ma potrebbe dipendere dal tempo per quale motivo? Non ci sono altri campi
esterni che non quelli di dispositivi di Stern-Gerlach sequenziali.

BlueRay:
Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della disuguaglianza di Bell da
un'articolo su "Le Scienze" di una ventina d'anni fa

Bruno Cocciaro:
Se si passa alla disuguaglianza di Bell allora certamente non si puo' avere a
che fare con un solo elettrone, ce ne vogliono almeno due.

Veramente io stavo parlando di "fasci di particelle" quindi molti piu' di due!

Bruno Cocciaro:
E se si vuole sottoporre a critica una proposizione tipo "l'elettrone A ha
realmente S_z=1" si deve inserire quella proposizione nell'ambito di cio' che
si fa durante le misure EPR. In quelle misure su ciascun elettrone si esegue
una sola misura. Non si esegue S_x e poi, sullo stresso elettrone, si esegue
S_y.

Ma di entanglement non avevo parlato e forse qui non e' nemmeno necessario.

Bruno Cocciaro:
Il punto e' che (sempre per come l'ho capita io e nella speranza di conferme
autorevoli), se esistesse un qualche "codice", un qualche insieme di variabili
nascoste, che potrebbe permettere di prevedere che
eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,
e eseguendo "adesso" la misura MB sull'elettrone B si otterrebbe l'esito eB,
per generiche misure MA e MB,
allora gli esiti eA ed eB non potranno in generale rispettare le previsioni
della MQ ortodossa.
Una eventuale teoria a variabili nascoste che prevedesse che
eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,
e poi, eseguendo "fra un secondo", sempre sull'elettrone A, una nuova misura
MA' si avrebbe l'esito eA' (misura che "distruggerebbe" la "realta'"
dell'essere l'elettrone nello stato eA per portarlo "realmente" nello stato
eA') e che fosse in grado di fare previsioni *****oghe per l'elettrone B,
sarebbe comunque una teoria a variabili nascoste che porterebbe comunque a non
violazione della disuguaglianza di Bell.

Cosa avverrebbe nel caso di entanglement con la interpretazione che ho proposto
non l'ho detto :-)

Ciao.

--
BlueRay
BlueRay 29 Lug 2015 23:04
Il giorno mercoledì 29 luglio 2015 00:48:03 UTC+2, Bruno Cocciaro ha scritto:
> "BlueRay" ha scritto:
Un momento. Lasciando stare quella circolare, direi che complementari sono
quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?

Bruno Cocciaro:
Non so se e' corretto l'uso che sto (stiamo?) facendo dei termini "misure
complementari",

Come ho scritto precedentemente, preferisco "misure su osservabili
complementari".

Bruno Cocciaro:
ad ogni modo, le associazioni sono le seguenti:
polarizzazione H; V per il fotone sono come S_z=1; S_z=-1 per l'elettrone,



Lo stato di polarizzazione V e quello H del fotone sono due diversi vettori
(raggi) dello spazio di Hilbert, che sono anche ortogonali; S_z = +1 e S_z = -1
sono due diversi autovalori della osservabile S_z quindi i corrispondenti
autovettori sono ortogonali. Eseguendo due misure consecutive di S_z lo stato
non cambia dopo la prima: la prima misura pone il sistema in un autostato di S_z
e la seconda lo lascia in quello stesso stato.

Come intendi, sperimentalmente, una misura di polarizzazione orizzontale o
verticale su un fotone?
Ciao.

--
BlueRay
BlueRay 30 Lug 2015 12:18
Il giorno lunedì 27 luglio 2015 02:15:03 UTC+2, BlueRay ha scritto:
> Un momento. Lasciando stare quella circolare, direi che complementari sono
> quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?

No, non sono d'accordo :-)

Direi che sono due diversi (e ortogonali) autovettori della stessa osservabile,
comunque devo dire che questo non e' chiaro per niente, nonostante l'esempio
venga utilizzato spesso nei libri di testo...

--
BlueRay
Elio Fabri 31 Lug 2015 21:30
BlueRay ha scritto:
> Direi che sono due diversi (e ortogonali) autovettori della stessa
> osservabile, comunque devo dire che questo non e' chiaro per niente,
> nonostante l'esempio venga utilizzato spesso nei libri di testo...
Che cosa non è chiaro?

L'osservabile in questione è l'elicità L (sarebbe Lambda) (componente
del mom. amgolare nella direzione dell'impulso.
Lo stato di polarizzazione destra |R> corrisponde all'autov. +1, queo
dipol. sinistra |L> all'autov. -1.
(O è l'opposto? Non sono mai riuscito a impararlo :-( )

E una polar. orizzontale |H> ?
Sarà la combin. |R> + |L>.
Quella verticale |V> = |R> - |L>
(a parte fattori di fase, che non ricordo, e di normalizzazione).
Ovviamente questi non sono autostati di L, ma di una diversa
osservabile M, che nessuno si cura di definire.
Poi potresti considerare |R> + i|L> e |R> - i|L>: questi sono
autostati di una terza osservabile N.
Esercizio: verifica che L, M, N soddisfano le rel. di comm. del mom.
angolare (forse a meno di un fattore...).


--
Elio Fabri
BlueRay 1 Ago 2015 12:44
Il giorno venerdì 31 luglio 2015 21:42:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> BlueRay ha scritto:
>> Direi che sono due diversi (e ortogonali) autovettori della stessa
>> osservabile, comunque devo dire che questo non e' chiaro per niente,
>> nonostante l'esempio venga utilizzato spesso nei libri di testo...

> Che cosa non è chiaro?

Esattamente tutto quello che hai scritto dopo:

"L'osservabile in questione è l'elicità L (sarebbe Lambda) (componente
del mom. amgolare nella direzione dell'impulso.
Lo stato di polarizzazione destra |R> corrisponde all'autov. +1, queo
dipol. sinistra |L> all'autov. -1.
(O è l'opposto? Non sono mai riuscito a impararlo :-( )

E una polar. orizzontale |H> ?
Sarà la combin. |R> + |L>.
Quella verticale |V> = |R> - |L>
(a parte fattori di fase, che non ricordo, e di normalizzazione).
Ovviamente questi non sono autostati di L, ma di una diversa
osservabile M, che nessuno si cura di definire.
Poi potresti considerare |R> + i|L> e |R> - i|L>: questi sono
autostati di una terza osservabile N."

:-)

--
BlueRay
BlueRay 3 Ago 2015 18:54
Il giorno venerdì 31 luglio 2015 21:42:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
>
> L'osservabile in questione è l'elicità L (sarebbe Lambda) (componente
> del mom. angolare nella direzione dell'impulso.
> Lo stato di polarizzazione destra |R> corrisponde all'autov. +1, quello
> di pol. sinistra |L> all'autov. -1.
> (O è l'opposto? Non sono mai riuscito a impararlo :-( )

Allora definiamo:
lambda|R> = |R>
lambda |L> = -|L>

> E una polar. orizzontale |H> ?
> Sarà la combin. |R> + |L>.
> Quella verticale |V> = |R> - |L>
> (a parte fattori di fase, che non ricordo, e di normalizzazione).
> Ovviamente questi non sono autostati di L, ma di una diversa
> osservabile M, che nessuno si cura di definire.

Quindi definisco:
mu(|R> + |L>) = |R> + |L>
mu(|R> - |L>) = |L> - |R>

da cui, sommando e sottraendo le due equazioni, ottengo:
mu|R> = |L>
mu|L> = -|L>

> Poi potresti considerare |R> + i|L> e |R> - i|L>: questi sono
> autostati di una terza osservabile N.

Quindi definisco:
nu(|R> + i|L>) = |R> + i|L>
nu(|R> - i|L>) = i|L> - |R>
usando la linearita' dell'operatore e riarrangiando si deduce che:

|R> = inu|L>
|L> = -inu|R>

> Esercizio: verifica che L, M, N soddisfano le rel. di comm. del mom.
> angolare (forse a meno di un fattore...).

Prendo un vettore generico |v> nella base |R>, |L>:
|v> = c1R> + c2|L>. Allora:


[lambda,mu]|v> = lambda(mu |v>) - mu(lambda |v>) = (sfrutto le relazioni gia'
scritte piu' sopra) = 2c2|R> - 2c1|L> = 2c2 i nu|L> + 2c1 i nu |R> = 2i nu|v>.
*****ogamente per il commutatore tra lambda e nu e quello tra mu e nu, penso
(perche' in q.to cado non ho fatto i conti :-) )

--
BlueRay
Elio Fabri 3 Ago 2015 21:10
BlueRay ha scritto:
> Esattamente tutto quello che hai scritto dopo:
> ...
> :-)
Non ho capito: vuoi dire che non avevi capito proprio quello che ti ho
spiegato, e ora l'hai capito, oppure che ti ho ripetuto per bene tutto
quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)


--
Elio Fabri
BlueRay 4 Ago 2015 01:22
Il giorno lunedì 3 agosto 2015 21:18:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
>
> Non ho capito: vuoi dire che non avevi capito proprio quello che ti ho
> spiegato, e ora l'hai capito, oppure che ti ho ripetuto per bene tutto
> quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)

La prima che hai detto :-)

Comunque non mi voglio allargare: diciamo che ora e' molto piu' chiaro di prima
(se dico che una cosa l'ho capita, poco dopo qualcuno mi fa una domanda
specifica e rispondo in modo sbagliato :-) )



Il fatto e' che l'esempio dei due stati di polarizzazione, verticale ed
orizzontale, dei fotoni e' usato spesso per introdurre il concetto di vettori di
stato ortogonali in MQ, pero' non si capisce di quale/quali osservabile/i siano
autovettori, ovvero che cosa si sta misurando quando un fotone viene fatto
passare da un filtro polarizzatore.


Riguardo poi alla polarizzazione circolare, mi sembra di aver capito che
l'*****ogo del polarizzatore lineare sia una "lamina a quarto d'onda", ma come
funziona?

--
BlueRay
BlueRay 4 Ago 2015 15:27
Il giorno lunedì 3 agosto 2015 21:18:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> BlueRay ha scritto:
>> Esattamente tutto quello che hai scritto dopo:
>> ...

> Non ho capito: vuoi dire che non avevi capito proprio quello che ti ho
> spiegato, e ora l'hai capito, oppure che ti ho ripetuto per bene tutto
> quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)

(Mi sa che ho perso per la strada la risposta che ti avevo gia' dato.)
E' la prima che hai scritto.


Certo, dire "capito" e' sempre eccessivo con argomenti del genere, pero' quello
che tu hai scritto, a parer mio, non viene quasi mai scritto o perlomeno non
cosi' chiaramente, tenuto conto che l'esempio degli stati di polarizzazione
lineare dei fotoni viene utilizzato spesso per introdurre esempi di vettori di
stato in uno spazio di Hilbert.

--
BlueRay
Elio Fabri 6 Ago 2015 21:49
BlueRay ha scritto:
> Il fatto e' che l'esempio dei due stati di polarizzazione, verticale
> ed orizzontale, dei fotoni e' usato spesso per introdurre il concetto
> di vettori di stato ortogonali in MQ, pero' non si capisce di
> quale/quali osservabile/i siano autovettori, ovvero che cosa si sta
> misurando quando un fotone viene fatto passare da un filtro
> polarizzatore.
Adesso l'hai capito, credo.

> Riguardo poi alla polarizzazione circolare, mi sembra di aver capito
> che l'*****ogo del polarizzatore lineare sia una "lamina a quarto
> d'onda", ma come funziona?
No.
Un polarizzatore *proietta* quasiasi stato di polarizzazione in uno di
pol. lineare, diciamo |x>.
Naturalmente la proiezione non conserva la normalizzazine, i che
corisponda al fatto che se mandi un fotone in uno stao |a> generico
attraverso il polarizzatore, la sua prob. di passare è <1.

Invece la lamina a quarto d'onda esegue sullo spazio degli stati una
/trasf. unitaria/: cambia lo stato, ma conserva la norma, ossia tutti
i fotoni passano.
Formalmente, nella base |x>, |y> la rappr. di questo oper. unitario Q
è molto semplice:
Q|x> = |x>
Q|y> = i|y>.
Esecizio: che cosa fa a uno stato pol. lin. a 45°?
E a uno stato di pol. circolare?

Ci sarebbero diverse altre cose da dire, ma stasera è tardi per i miei
usi di vecchietto :-)


--
Elio Fabri
Bruno Cocciaro 7 Ago 2015 12:54
Il giorno giovedì 6 agosto 2015 21:54:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:

> Un polarizzatore *proietta* quasiasi stato di polarizzazione in uno di
> pol. lineare, diciamo |x>.

Elio, ma quale è la corretta terminologia?

Le 3 misure
pol verticale,
pol 45 gradi,
pol circolare,
si chiamano misure complementari?


Poi, e' corretto dire che ad ogni misura corrisponde un operatore hermitiano i
cui autovettori sono gli autostati della misura (i quali devono costituire una
base ortonormale per lo spazio)?

E, nello specifico (in opportuna base), alle misure
pol verticale corrisponde l'operatore
[[1,0],[0,-1]],
pol 45 gradi corrisponde l'operatore
[[0,1],[1,0]],
pol circolare corrisponde l'operatore
[[0,-i],[i,0]].

> Elio Fabri

Ciao,

Bruno Cocciaro
BlueRay 7 Ago 2015 15:05
Il giorno giovedì 6 agosto 2015 21:54:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> Adesso l'hai capito, credo.

Ma solo perche' hai dato delle definizioni matematiche, in formule, dei concetti
:-)
Questo e' uno dei casi in cui pochi simbolo contano piu' di cento parole :-)

> Formalmente, nella base |x>, |y> la rappr. di questo oper. unitario Q
> è molto semplice:
> Q|x> = |x>
> Q|y> = i|y>.
> Esecizio: che cosa fa a uno stato pol. lin. a 45°?

Q(|x>+|y>) = |x>+i|y>

> E a uno stato di pol. circolare?

Q(|R>) = Q(1/2 |x> + 1/2 |y>) = 1/2 |x> + i/2 |y>

Q(|L>) = Q(1/2 |x> - 1/2 |y>) = 1/2 |x> - i/2 |y>

Ciao e grazie del tuo tempo.

--
BlueRay
ADPUF 7 Ago 2015 20:28
BlueRay 13:36, sabato 25 luglio 2015:

> Ho trovato l'articolo su Le Scienze di cui ho scritto nel mio
> post di qualche minuto fa:
>
> http://www.scientificamerican.com/media/pdf/197911_0158.pdf


Era del 1979, altro che "una ventina d'anni fa"...
:-)

Mi piaceva di più allora, quella rivista.


From:
BlueRay <blupanther@alice.it> (Robomoderatore (by Md))
Date:
13:19:24, sabato 25 luglio 2015

Ma il punto e' che la proposta di interpretazione che ho
descritto, ad una prima *****isi approssimata che ho fatto, e'
conforme al risultato della MQ in quanto non ci sono due
osservabili complementari che hanno un valore ben definito
assieme. Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della
disuguaglianza di Bell da un'articolo su "Le Scienze" di una
ventina d'anni fa, purtroppo non ricordo l'autore (forse
d'Espagnat?) ne' il titolo (forse "La teoria dei quanti e la
realta' "?), ma ricordo che utilizzava le varie componenti di
spin di particelle (protoni?) e che c'erano delle figure
colorate :-) e mi sembro' di capire che quella disuguaglianza
nasceva dal pretendere che una particella possedesse
simultaneamente due valori ben definiti di osservabili
complementari. Infatti scriveva qualcosa del tipo:
[nell'ipotesi di realismo locale ovvero di variabili nascoste]
se si indica con N_x(+) il numero di particelle che hanno S_x
= +1, allora tale numero e' la somma di quelle che hanno S_y =
+1 e di quelle che hanno S_y = -1.


Da semplici considerazioni insiemistiche come questa, l'autore
dell'articolo dimostrava la disuguaglianza di Bell e questo
fatto, ovvero che venivano utilizzate semplici considerazioni
di quel tipo, mi ha stimolato a cercare di comprendere quale o
quali fossero i punti essenziali della questione.



>
> --
> BlueRay


P.S. per la firma è necessario uno spazio dopo i due
trattini: "-- ".


--
AIOE ³¿³
Elio Fabri 8 Ago 2015 21:03
Bruno Cocciaro ha scritto:
> Elio, ma quale è la corretta terminologia?
>
> Le 3 misure
> pol verticale,
> pol 45 gradi,
> pol circolare,
> si chiamano misure complementari?
A me sembra che l'aggettivo "complementare" sia da riservare sol al
caso di variabili canoniche coniugate, tipo posizione e impulso.
Non vedo come usarle per polar. e mom. angolari, dove le rel. di
commut. sono più complesse e dove non c'è una coppia "duale".
Ma comunque, che importanza ha?

> Poi, e' corretto dire che ad ogni misura corrisponde un operatore
> hermitiano i cui autovettori sono gli autostati della misura (i quali
> devono costituire una base ortonormale per lo spazio)?
Non mi pare che l'oper. sia univocamente determinato.
Sono determinati i /risultati/ della misura come /stati/, ma gli
autovalori associati li puoi definire in modo arbitrario.

> E, nello specifico (in opportuna base), alle misure pol verticale
> corrisponde l'operatore
> [[1,0],[0,-1]],
Qui per es. hai deciso per gli autovalori 1 e -1, ma avresti potuto
prendere 1 e 0 (ottenendo un proiettore) oppure 1/2 e -1/2 se avevi a
che fare con uno spin...

> pol 45 gradi corrisponde l'operatore
> [[0,1],[1,0]],
> pol circolare corrisponde l'operatore
> [[0,-i],[i,0]].
Questa è la scelta coerente con la prima, che ti dà rel. di comm.
semplici e simmetriche (quelle delle matrici di Pauli)


--
Elio Fabri
Elio Fabri 8 Ago 2015 21:03
Avevo scritto:
> Ci sarebbero diverse altre cose da dire, ma stasera è tardi per i
> miei usi di vecchietto :-)
Oggi posso continuare un po'-
Volevo soprattutto descrivere com'è fatta un lamina a 1/4 d'onda.

Si tratta di una sottile lamina di materiale trasparente e otticamente
anisotropo.
(A quanto mi dicono Born & Wolf, fu inventata da Airy attorno al 1830,
usando lamine di mica.)

L'ottica dei mezzi anisotropi è parecchio complicata, e nemmeno la
conosco gran che bene. Ma qui basta sapere che cosa succede a un'onda
piana che incide normalmente sulla lamina.

1. Riflessione a parte, si propaga con sup. d'onda che restano
paarllele a quelle incidenti.

2. Però la forma della propag. richiede di cnsiderare *due* direzioni
per il vettore D, entrambe nel piano parall. alle sup. d'onda, che
prendo come x e y.
Le due componenti di D hanno vel. di propag. *diverse* (indici di rif.
diversi, n' e n").

3. Il campo elettrico invece è generalmente /obliquo/ ma non ci serve.

4. Se s è lo spessore della lamina, L la lungh. d'onda,
l'attraversamento della lamina produce nelle due componenti risp. una
variazione di fase
2 pi n's/L, 2 pi n"s/L (rad).

5. Quindi rispetto all'ingresso le due componenti si sono sfasate di
delta = 2 pi (n' - n") s/L.
Nella lamina a 1/4 d'onda, delta = pi/2, ossia (n' - n") s = L/4.

Un'applicazione semplice della lamina a 1/4 d'onda è di accoppiarla
con un polaroid.
Se si entra con luce polar. circolarmente, la lamina la converte in
pol. a 45° in una delle due direzioni rispetto a x.
Se il polaroid è orientato correttamente, può trasmettere liberamente
o viceversa bloccare la luce.
Si può quindi dire che stiamo facendo una misura di pol. circolare.

Occorre tener presente che la lamina funziona bene solo per *una* l.
d'onda, perché delta dipende da L per due ragioni:
- perché L figura direttamente nella formula
- perché n' e n" dipendono da L (mezzo dispersivo).

Storia a parte, lamine a 1/4 d'onda (o simili) si possono fare oggi
molto facilmente usando i fogli di acetato che erano di uso comune
anni fa per le lavagne luminose.
(Il materiale è anisotropo a causa del processo di lavorazione, che
orienta le macromolecole del polimero tutte in un stessa direzione.)

Un esperimento d'effetto si fa usando due fogli polaroid, che si
mettono incrociati sul piano della lavagna, in modo che non passi luce.
Interponendo un pezzo d'acetato la luce passa (perché?), e cambia
colore se si ruota quel pezzo (perché?).
Se si usano diversi pezzi, orientati a caso, si ottiene unimmagine
policroma.

In termini di stati di pol. dei fotoni, succede questo:
- il primo polaroid (quello a contatto del vetro) prepara lo stato,
diciamo |x>
- il foglio di acetato, con l'asse a un certo angolo rispetto a x,
esegue una trasf. unitaria: quale stato hanno ora i fotoni?
- il secondo polaroid proietta sullo stato |y>.


--
Elio Fabri
Bruno Cocciaro 9 Ago 2015 11:34
Il giorno sabato 8 agosto 2015 21:12:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:

> Un'applicazione semplice della lamina a 1/4 d'onda è di accoppiarla
> con un polaroid.
> Se si entra con luce polar. circolarmente, la lamina la converte in
> pol. a 45° in una delle due direzioni rispetto a x.
> Se il polaroid è orientato correttamente, può trasmettere liberamente
> o viceversa bloccare la luce.
> Si può quindi dire che stiamo facendo una misura di pol. circolare.




Pero' semplicemente cosi' mi pare che non basti. Dopo il polarizzatore ci va
messa un'altra lamina a 1/4 d'onda ruotata di 90 gradi rispetto alla precedente
cosi' che in uscita si avra' un fotone a polarizzazione circolare sinistra
(destra) se in entrata si aveva un fotone a polarizzazione circolare sinistra
(destra). In questo modo, ripetendo la misura si otterra' lo stesso esito, cosa
che, in generale, non mi pare sia vera se non si aggiunge la nuova lamina dopo
il polarizzatore.




Poi, in generale, a me piace pensare a polarizzatori ideali, cioè non i
polaroid che, anche se ideali, una componente la fanno passare ma l'altra la
assorbono. Non so come si chiamano i polarizzatori "a cubo" che trasmettono una
componente lungo una certa direzione e trasmettono anche l'altra componente
lungo un'altra direzione. Usando polarizzatori di questo tipo, per eseguire una
misura di polarizzazione circolare saranno ovviamente necessarie 3 lamine a 1/4
d'onda.

> Elio Fabri

Ciao,

Bruno Cocciaro
Bruno Cocciaro 9 Ago 2015 11:45
Il giorno sabato 8 agosto 2015 21:12:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:

> A me sembra che l'aggettivo "complementare" sia da riservare sol al
> caso di variabili canoniche coniugate, tipo posizione e impulso.
> Non vedo come usarle per polar. e mom. angolari, dove le rel. di
> commut. sono più complesse e dove non c'è una coppia "duale".
> Ma comunque, che importanza ha?


Beh, originariamente il motivo era che con BlueRay mi chiedevo se stessi usando
l'aggettivo "complementare" nella maniera corretta, pero', piu' in generale,
direi che l'importanza sia nel fatto che dietro un non corretto uso delle parole
si nasconde una non chiara comprensione dei concetti.

Nel caso specifico, cosa e' che rende posizione e impulso "canoniche coniugate"?
E cosa sono le coppie duali?

> Elio Fabri

Ciao,

Bruno Cocciaro
BlueRay 9 Ago 2015 12:14
Il giorno sabato 8 agosto 2015 23:35:03 UTC+2, ADPUF ha scritto:
> BlueRay 13:36, sabato 25 luglio 2015:
>
>> Ho trovato l'articolo su Le Scienze di cui ho scritto nel mio
>> post di qualche minuto fa:
>> http://www.scientificamerican.com/media/pdf/197911_0158.pdf
>
> Era del 1979, altro che "una ventina d'anni fa"...
> :-)

Come passa il tempo, vero? Mi sembrava ieri l'altro, e invece ... :-)

> Mi piaceva di piů allora, quella rivista.

Anche a me, decisamente.

> From:
> BlueRay (Robomoderatore (by Md))
> Date:
> 13:19:24, sabato 25 luglio 2015
Ma il punto e' che la proposta di interpretazione che ho
descritto, ad una prima *****isi approssimata che ho fatto, e'
conforme al risultato della MQ in quanto non ci sono due
osservabili complementari che hanno un valore ben definito
assieme. Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della
disuguaglianza di Bell da un'articolo su "Le Scienze" di una
ventina d'anni fa, purtroppo non ricordo l'autore (forse
d'Espagnat?) ne' il titolo (forse "La teoria dei quanti e la
realta' "?), ma ricordo che utilizzava le varie componenti di
spin di particelle (protoni?) e che c'erano delle figure
colorate :-) e mi sembro' di capire che quella disuguaglianza
nasceva dal pretendere che una particella possedesse
simultaneamente due valori ben definiti di osservabili
complementari. Infatti scriveva qualcosa del tipo:
[nell'ipotesi di realismo locale ovvero di variabili nascoste]
se si indica con N_x(+) il numero di particelle che hanno S_x
= +1, allora tale numero e' la somma di quelle che hanno S_y +1 e di quelle
che hanno S_y = -1.
Da semplici considerazioni insiemistiche come questa, l'autore
dell'articolo dimostrava la disuguaglianza di Bell e questo
fatto, ovvero che venivano utilizzate semplici considerazioni
di quel tipo, mi ha stimolato a cercare di comprendere quale o
quali fossero i punti essenziali della questione.

Come hai fatto a ripescare questo post? Pensavo che ormai fosse andato perso...
Ciao.

--
BlueRay
BlueRay 9 Ago 2015 13:15
Il giorno giovedì 6 agosto 2015 21:54:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
[...]
> Invece la lamina a quarto d'onda esegue sullo spazio degli stati una
> /trasf. unitaria/: cambia lo stato, ma conserva la norma, ossia tutti
> i fotoni passano.
> Formalmente, nella base |x>, |y> la rappr. di questo oper. unitario Q
> è molto semplice:
> Q|x> = |x>
> Q|y> = i|y>.
> Esecizio: che cosa fa a uno stato pol. lin. a 45°?
> E a uno stato di pol. circolare?


Qualche post fa avevi definito gli stati di polarizzazione lineare, verticale
|V> ed orizzontale |H> in funzione di quelli di polarizzazione circolare destra
|R> e sinistra |L> cosi':

|H> = |R> + |L>
|V> = |R> - |L>

ma avevi specificato che c'era propbabilmente un fattore di fase che non
ricordavi.

Del resto un fattore di fase ci deve essere, altrimenti gli stati |R> ed |L> si
otterrebbero da semplice somma e differenza di |H> e |V> il che non puo' essere
perche' somma e diff. di quelli forniscono i due stati di pol. lin. a 45°.



Se il fattore di fase fosse (ho provato per tentativi) una volta i su |L> e
un'altra -i su |R>, ovvero se fosse (considero anche la normalizzazione,
partendo da |R> ed |L> ortonormali):

|H> = (|R> + i|L>)/sqrt(2)
|V> = (i|R> + |L>)/sqrt(2)

allora risulterebbe:

|R> = (|H> - i|V>)/sqrt(2)
|V> = (-i|H> + |V>)/sqrt(2)

e l'effetto della lamina a quarto d'onda sulla pol. circolare sarebbe:

Q|R> = (|H> + |V>)/sqrt(2) ovvero la trasforma in pol. lin. a 45°

e sulla pol. circ. sinistra:

Q|L> = i(|V> - |H>)/sqrt(2) ovvero la trasforma in pol. lin. a 45° ortogonale
alla precedente.

Vediamo ora l'effetto sulle pol. lin. a 45°:

Q(|H> + |V>)/sqrt(2) = i|L> ovvero la trasforma in pol. circol. sinistra (il
fattore i qui penso che non conti, da questo punto di vista)

Q(|H> - |V>)/sqrt(2) = |R> ovvero la trasforma in pol. circ. destra.

Questo mi sembra che torni di piu' con quello che hai detto dopo essere il
funzionamento della lamina a lambda/4, e' corretto?

Ciao.

--
BlueRay
ADPUF 9 Ago 2015 20:08
BlueRay 12:14, domenica 9 agosto 2015:
>
>> From:
>> BlueRay (Robomoderatore (by Md))
>> Date:
>> 13:19:24, sabato 25 luglio 2015
>
> Come hai fatto a ripescare questo post? Pensavo che ormai
> fosse andato perso...


Ho cercato indietro nella lista fra i tuoi messaggi, a quanto
pare AIOE non l'ha ancora cancellato.


--
AIOE ³¿³
Elio Fabri 9 Ago 2015 20:47
BlueRay ha scritto:
> Qualche post fa avevi definito gli stati di polarizzazione lineare,
> verticale |V> ed orizzontale |H> in funzione di quelli di
> polarizzazione circolare destra |R> e sinistra |L> cosi':
>
> |H> = |R> + |L>
> |V> = |R> - |L>
>
> ma avevi specificato che c'era propbabilmente un fattore di fase che
> non ricordavi.
>
> Del resto un fattore di fase ci deve essere, altrimenti gli stati |R>
> ed |L> si otterrebbero da semplice somma e differenza di |H> e |V> il
> che non puo' essere perche' somma e diff. di quelli forniscono i due
> stati di pol. lin. a 45°.
Hai ragione...
Sebbene non ci sia niente di sbagliato in quelloche avevo scritto, la
mancanza di precisione ha contribuito in*****arti :-)

Il primo punto da tenere ben fermo è che *c'è sempre* un fattore di
fase nella definizione di un vettore di stato, e quindi un qualche
convenzione è necessaria e poi va tenuta ferma, per non pasticciare.
Quello che avevo scritto andava letto diversamente da come l'hai
inteso (ma non potevi saperlo): il fattore di fase me lo aspettavo
a moltiplicare in una delle due formule, per es. così:

|H> = (|R> + |L>)/r2
|V> = k(|R> - |L>)/r2
con |k| = 1, e adesso ci ho amche messo il fattore di normalizzazione
(r2 = sqrt82)).

> Se il fattore di fase fosse (ho provato per tentativi) una volta i su
> |L> e un'altra -i su |R>, ovvero se fosse (considero anche la
> normalizzazione, partendo da |R> ed |L> ortonormali):
>
> |H> = (|R> + i|L>)/sqrt(2)
> |V> = (i|R> + |L>)/sqrt(2)
>
> allora risulterebbe:
>
> |R> = (|H> - i|V>)/sqrt(2)
> |V> = (-i|H> + |V>)/sqrt(2)
Sì, questa è una scelta lecita, anche se è diversa dalla mia scritta
appena sopra.
Infatti dalla mia avresti
|R> = (|H> + k*|V>)/r2
|L> = (|H> - k*|V>)/r2.
Per k=i le def. di |R> coincidono, ma quelle di |L> no.

> Questo mi sembra che torni di piu' con quello che hai detto dopo
> essere il funzionamento della lamina a lambda/4, e' corretto?
Sì, ma anche la mia, che ora ho spiegato meglio, torna :-)
Il mio problema è che non ricordo mai (e non mi metto a cercare) quale
sia le def. in uso, ammesso che sia unica.
Perché non mi meraviglierei se testi diversi usassero def. diverse.
L'unica cosa su cui mi sentirei sicuro è che le pol. lineari a tutti
gli angoli si ottengano da combin. *a coeff. reali* di |H> e |V>,
alias |x> e |y>.

Non so se lo sai, ma lo stesso problema esiste (e non credo sia stato
eliminato) con le autof. del mom. angolare (le "armoniche sferiche").
Ci sono due o tre diverse convenzioni, che appunto differiscono per
fattori di fase.
Il peggio è che le armoniche sferiche sono infinite :-)


--
Elio Fabri
Elio Fabri 9 Ago 2015 20:49
Bruno Cocciaro ha scritto:
> Beh, originariamente il motivo era che con BlueRay mi chiedevo se
> stessi usando l'aggettivo "complementare" nella maniera corretta,
> pero', piu' in generale, direi che l'importanza sia nel fatto che
> dietro un non corretto uso delle parole si nasconde una non chiara
> comprensione dei concetti.
Il guaio è che io non so se ci sia un accordo, o solo degli usi
vaghi...

Nell'accezione originaria di Bohr, "complementarità" vuol dire un
sacco di cose:
- ondulatorio vs. cospuscolare
- causale vs. quantistico (?)
- posizione vs. impulso
e forse anche molto altro.
In un senso più ristretto, si potrebbero definire "complementari" due
osserv. che non possono essere misurate insieme.
Ma questa defin. ha un difetto: è troppo larga.
Per es. Sx e Sy sarebbero complementari, ma lo sarebbero anche Sx e
qualsiasi combin. lineare di Sx e Sy, con coeff. di Sy piccolo a
piacere, visto che in tutti i casi non commutano.

> Nel caso specifico, cosa e' che rende posizione e impulso "canoniche
> coniugate"?
Ecco perché p e q hanno una posizione speciale: sono osserv.
"classiche", nessuno si sogna di farne combin. lineari (anche se
sarebbe possibile, e magari si potrebbe anche costruire uno strumento
di misura).

> E cosa sono le coppie duali?
Queste me lo sono inventate io :-)
Ma avevo in mente p e q in questo senso: che sono intercambiabili, nel
senso che lo scambio di p e q, con un cambiamento di segno, è una
trasf. canonica.
E' vero che lo stesso giochetto si può fare col mom. angolare, ma qui
c'è automaticamente più libertà: *qualunque* trasf. ortogonale sulla
terna (Sx,Sy,Sz) conserva le rel. di commutazione (è una rotazione).

Ma come avrai capito, tutti questi giochi di parole non mi
appassionano, anzi nutro una certa diffidenza.


--
Elio Fabri
Bruno Cocciaro 11 Ago 2015 19:31
Il giorno domenica 9 agosto 2015 21:00:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:

> In un senso più ristretto, si potrebbero definire "complementari" due
> osserv. che non possono essere misurate insieme.
> Ma questa defin. ha un difetto: è troppo larga.

Ecco, io avevo in mente proprio una cosa del genere, pero' piu' specifica, cosi'
che, forse, possa non dirsi "troppo larga".
Qualcosa tipo questo:

se, dopo aver effettuato la misura Ma, quale che ne sia l'esito, risultera'
perfettamente indeterminato l'esito di una successiva misura Mb, allora le due
misure si dicono complementari (poi l'aggettivo si potra' eventualmente
associare alle osservabili corrispondenti alle relative misure).

L'esempio delle polarizzazioni del fotone permetterebbe di individuare subito
una tripla di misure complementari secondo la definizione suddetta: pol
vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin.


Pero' ho l'impressione che, dato un qualunque operatore hermitiano O_1, avente
come autostati un generico stato S e il suo ortogonale S*, sara' sempre
possibile determinare altri due operatori hermitiani, O_2 e O_3, tali che le
misure associate ai tre operatori O_1, O_2 e O_3 risulteranno a due a due
complementari secondo la definizione suddetta.


Poi, se non erro, gli operatori hermitiani associati alle tre misure pol
vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin. sarebbero le matrici di Pauli
che, unite all'identita', costituiscono (sempre se non erro) una base
ortonormale per le trasformazioni unitarie.


Pero', portando avanti l'impressione di cui parlavo sopra, mi sa che dato un
generico stato S e i corrispondenti operatori O_1, O_2, O_3 di cui sopra, anche
questi operatori, uniti all'identita', costituiranno una nuova base ortonormale
per le trasformazioni unitarie.



Se fosse cosi' allora, forse, avrebbe un senso assegnare un nome specifico per
caratterizzare le triple di misure di cui sopra, chiamandole, ad esempio,
complementari e, dato un generico stato S, potrebbe avere un certo interesse
chiedersi quale e' la tripla di misure complementari ad esso associata.


Ipotizzando anche che sia corretto quanto detto sopra, non ho la minima idea
sull'eventuale possibilita' di generalizzare il discorso a spazi di dimensione
maggiore.

> Elio Fabri

Ciao,
Bruno Cocciaro
Elio Fabri 12 Ago 2015 21:25
Bruno Cocciaro ha scritto:
> se, dopo aver effettuato la misura Ma, quale che ne sia l'esito,
> risultera' perfettamente indeterminato l'esito di una successiva
> misura Mb, allora le due misure si dicono complementari (poi
> l'aggettivo si potra' eventualmente associare alle osservabili
> corrispondenti alle relative misure).
Da quello che dici dopo si capisce che stai considerando sistemi a due
stati (spazio degli stati bidimensionale).
Questi sistemi sono tutti isomorfi a quello dello spin per una
particella di spin 1/2, quindi ragioniamo su questo.

E' ben noto (lo sai certamente) che ogni possibile vettore di stato è
autovettore con autov. 1/2 di una qualche componente dell spino: n.s con
n vettore unitario e s vettore di spin.
Sarà più comodo lavorare con 2s, che ha autov. +1 e -1 e che posso
rappresentare con le matrici di Pauli. Anzi cambio notazione e indico
con sx, sy, sz proprio le matrici di Pauli.

> L'esempio delle polarizzazioni del fotone permetterebbe di individuare
> subito una tripla di misure complementari secondo la definizione
> suddetta: pol vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin.
Ragionando sugli spin, è facile verificare che soddisfano al tuo
requisito i tre operatori n1.s, n2.s, n3.s con n1,n2,n3 terna
ortonormale.

> Pero' ho l'impressione che, dato un qualunque operatore hermitiano
> O_1, avente come autostati un generico stato S e il suo ortogonale S*,
> sara' sempre possibile determinare altri due operatori hermitiani, O_2
> e O_3, tali che le misure associate ai tre operatori O_1, O_2 e O_3
> risulteranno a due a due complementari secondo la definizione
> suddetta.
Segue da quanto sopra: fissato ad es. n1, puoi scegliere n2, n3 in
infiniti modi.

> Poi, se non erro, gli operatori hermitiani associati alle tre misure
> pol vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin. sarebbero le
> matrici di Pauli che, unite all'identita', costituiscono (sempre se
> non erro) una base ortonormale per le trasformazioni unitarie.
Quello che qui non capisco è che cosa intendi per "base ortonormale per
le trasformazioni unitarie".
Gli oper. unitari non formano uno sp. vettoriale, ma solo un gruppo.
Quindi che cosa sarebbe una base?

E' certo vero che I,s1,s2,s3 puoi prenderli come base per uno spazio
vett. reale 4D. Se u = a0*I+a1*s1+a2*s2+a3*s3, è vero che exp(iu) è
unitario, ma non va bene per rappresentare le rotazioni, perché il
gruppo è U(2), non SU(2).
Se vuoi SU(2) (det. = 1) occorrre che u abbia traccia nulla, il che
succede solo se a0=0.

> Pero', portando avanti l'impressione di cui parlavo sopra, mi sa che
> dato un generico stato S e i corrispondenti operatori O_1, O_2, O_3 di
> cui sopra, anche questi operatori, uniti all'identita', costituiranno
> una nuova base ortonormale per le trasformazioni unitarie.
Sì con le riserve di cui sopra...

> Se fosse cosi' allora, forse, avrebbe un senso assegnare un nome
> specifico per caratterizzare le triple di misure di cui sopra,
> chiamandole, ad esempio, complementari e, dato un generico stato S,
> potrebbe avere un certo interesse chiedersi quale e' la tripla di
> misure complementari ad esso associata.
Non è unica, come già detto.

> Ipotizzando anche che sia corretto quanto detto sopra, non ho la
> minima idea sull'eventuale possibilita' di generalizzare il discorso a
> spazi di dimensione maggiore.
Neanch'io :-)
Già pensando allo spin 1 si vedono le difficoltà.
Usiamo Sx,Sy,Sz per gli oper. di spin, con autovalori +1,0,-1 e le
solite rel. di commutazione.
Il guaio è che non è più vero che un generico stato in questo spazio
sia sempre autostato di qualche componente dello spin.
Basta osservare che lo spazio dei vettori di stato dipende da 4
parametri reali. Infatti è C^3 (6 param. reali) meno uno per la
normalizzazione e un altro per la fase arbitraria.
Invece gli autostati di n.S dipendono da 2 parametri: le componenti di
n a meno della normalizzazione.

Un'altra difficoltà è che non bastano I,Sx,Sy,Sz a generare
linearmente l'insieme degli operatori hermitiani, che dipendono da 9
parametri.
Per es. SxSy + SySx non è combin. lineare di I,Sx,Sy,Sz.

Tutto questo non dimostra che sia impossibile la tua richiesta:
vorresti che su un autov. poniamo di Sz fosse "completamente indet."
l'osservabile complementare.
Mostra solo che l'insieme è molto meno maneggevole che per il caso di
spin 1/2...
Poi bisognerebbe definire in modo preciso "completamente indet.".
Nel caso di spin 1/2 è facile: essendoci solo due autovalori, si deve
chiedere che le risp. probab. siano 1/2.
Se gli autov. sono 3, che cosa chiederemo?
Prob. 1/3? Oppure indet. massima? Sono due cose diverse...


--
Elio Fabri

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