Le leggi della Natura
 

Misure e principio di indeterminazione

Maurizio Malagoli 31 Lug 2017 11:42
Lo spettro di un operatore ci dice quali siano i valori possibili per la misura
associata ad esso, per cui se la psi prevede che lo spettro sia compreso in
certo delta, allora i valori delle misure varieranno in quel delta. Nota: se la
precisione delle misure è migliore dello spettro previsto, allora si può
verificare che la varianza nel valore di misure eseguite è uguale allo spettro
e se non fosse così la MQ sarebbe sbagliata, se la precisione delle misure è
peggiore dello spettro sono misure da buttare.

Lo spettro di una psi può essere diverso nel tempo e nello spazio, nel senso
che la psi ha la sua evoluzione e se lo calcoliamo per un certo istante o per
una certa posizione questo può essere diverso per un istante o una posizione
diversa.











Se prendiamo una particella che passa per un foro, prima del foro e dopo il foro
la psi può fornire spetti per la posizione e per il momento diversi, e non
abbiamo fatto ancora nessuna misura. Una misura, o una serie di misure fatta su
particelle che supponiamo abbiano la stessa psi inziale e la stessa evoluzione
serve a verificare che i valori di misura predetti dalla psi tramite gli
operatori sono corretti. Il principio di indeterminazione centra poco con le
misure. Esso dice semplicemente che non può esistere uno stato psi valido (che
sia soluzione dell’equazione di Schrodinger) tale per cui che il prodotto
dello spettro di 2 operatori incompatibili sia ≤ h_tagliato\2, o viceversa,
per qualunque psi che possiamo avere si ha sempre che lo spettro è ≥
h_tagliato\2. Quindi per una particella che passa per il foro la psi ci dice che
prima del foro lo spettro della posizione è delta_x_prima e che lo spetto per
il momento è delta_p_prima e dopo il passaggio per il foro ci dice che
delta_x_dopo ≠ delta_x_prima e delta_p_dopo ≠ delta_p_prima, ma sia per
prima che per dopo si ha che delta_x_prima*delta_p_prima ≥ h_tagliato\2 e
delta_x_dopo*delta_p_dopo ≥ h_tagliato\2 e questo indipendentemente dal fatto
che si siano eseguite o meno delle misure, ossia che un sistema esterno abbia
interagito con la particella. Se in un esperimento si riuscisse a violare il
principio di indeterminazione, questo non vorrebbe dire solo che esso non è
valido, ma che non è valida l’intera teoria della MQ: gli operatori non
forniscono lo spettro di una misura.



Poi che una misura (un sistema esterno che interagisca con la particella)
modifichi lo stato (psi_dopo_misura ≠ psi_prima_della_misura) è un’altra
storia. Sul fatto che psi_dopo_misura possa essere anche uguale a
psi_prima_della_misura (nel caso in cui psi sia un autostato dell’operatore
associato alla misura) è un po’ una storia controversa: ad esempio Landau
dice che non è possibile, ma, ripeto, questa è un’altra storia.
Comunque, anche in questo caso deve essere che delta_x*delta_p ≥ h_tagliato\2
sia per la psi_prima_della_misura che per la psi_dopo_misura.
Questo è quello che, da fisico hobbista, ho capito e mi piacerebbe molto avere
il vostro parere.
Elio Fabri 31 Lug 2017 22:18
Maurizio Malagoli ha scritto:
> Lo spettro di un operatore ci dice
> ...
Ho visto che hai messo lo stesso identico post su free.it.scienza.fisica.
Pensavo tu sapessi che questa non è una buona idea.
Non sto a spiegarti perché, tanto più che uno dei motivi ti apparirà
chiaro dal seguito.

Penso anche tu sappia che io ho abbandonato fisf da circa un anno.
Capita che occasionalmente vada a leggere quello che ci si scrive (e
ciò che vedo non fa che rafforzarmi nella mia decisione).
Di conseguenza non parteciperò alla discussione su quel NG.
Non so se avrai altre risposte qui (ne dubito) e per mio conto mi
limiterò a un paio di punti, dei tanti che ci sarebbero da rilevare e
discutere.

Fai una bella confisione tra spettro di un operatore (autoaggiunto,
dovevi dire) e spettro della psi, di cui non ho mai sentito parlare e
non so che cosa sia.
Non aggiungo altro su questo punto.

> Il principio di indeterminazione centra poco con le misure. Esso
> dice semplicemente che non può esistere uno stato psi valido (che
> sia soluzione dell'equazione di Schrodinger) tale per cui che il
> prodotto dello spettro di 2 operatori incompatibili sia
> <= h_tagliato\2, o viceversa, per qualunque psi che possiamo avere
> si ha sempre che lo spettro è >= h_tagliato\2.
Qui ci sono parecchi errori.
Il primo è che "c'entra" si scrive con l'apostrofo (non te la
prendere, l'ho trovato anche su libri :-( ).

Il secondo non è propriamente un errore, ma un'inesattezza,
Io direi che il PdI *non ha niente a che vedere con le misure* (fra
poco spiego meglio).
Secondo me bisogna essere radicali, per contrastare l'interpretazione
erronea (dovuta a Heisenberg) che lo fa discendere della perturbazione
indotta sul sistema dall'operazione di misura.
Anche il nome "principio" è improprio, perché fa pensare a un
enunciato *indipendente*, mentre non lo è affatto.
Meglio parlare di /relazione/ d'indet., che è più neutro.

Il fatto è che la RdI è un *teorema* matematico, che vale del tutto
indip. dall'interpretazione fisica della strattura matematica da cui
si deduce.
Poi, ma soltanto poi, dato che quella struttura matematica ha
un'interpretazione fisica, anche i suoi teoremi possono venire
interpretati fisicamente, ed enunciati in linguaggio fisico.
La cosa buffa è che H. tutto questo lo sa benissimo, tanto è vero che
scrive anche la dimostr. matematica.
E' un bell'esempio delle cose che possono capitare quando una teoria è
in stato nascente...

Altri errori: scrivi
> non può esistere uno stato psi valido (che sia soluzione
> dell'equazione di Schrodinger) tale per cui
La parentesi è superflua anzi è sbagliata.
Immagino che scrivendo "eq. di Schr." tu intenda
i hbar @psi/@t = H psi.
Se è così, confondi lo stato a un dato istante e la sua evoluzione nel
tempo.

A un dato istante la sola condizione sulla psi (che sarà funzione
delle variabili che definiscono la rappresentazione dello stato: può
essere la posizione, ma anche l'impulso o altre) è che sia un elemento
di uno spazio di Hilbert separabile (per es. una funzione L^2(R^3) per
una particella libera di muoversi nello spazio.
E' su queste funzioni che si enuncia la RdI.
L'evoluzione temporale farà cambiare lo stato, ossia la psi, cosa che
si esprime scrivendo psi(x,t).
Ma ripeto: per parlare della RdI devi fissare t, per cui la psi è
funzione solo delle coordinate (o di altre variabili, come già detto).

Poi scrivi
> il prodotto dello spettro di 2 operatori incompatibili
e qui ci sono due strafalcioni, di cui uno gravissimo e l'altro grave
in modo diverso.
Cominciamo dal secondo.
In generale si parla di "osservabili incompatibili" quando non è
possibile una misura simultanea delle due osservabili.
Ma questo attiene all'interpretazione fisica.
Si dimostra che gli operatori associati a oss. incomp. *non
commutano* (e viceversa).
Una proprietà *metmatica* legata alla non commutatività è che i due
operatori non hanno una base di autovettori comune (per coprire il
caso di autovalori continui dovrei usare un linguaggio diverso, ma
preferisco non farlo per non aggiungere confusione a confusione.

Ora l'enunciato tradizionale della RdI (che non è come l'hai scritto,
ma non voglio anticipare l'errore gravissimo) non vale così in
generale: vale solo per operatori /coniugati canonicamente/, ossia
tali che il loro commutatore sia i*hbar.
(E qui bisognerebbe precisare, per fare la matematica pulita, ma
sorvoliamo).
Per il caso generale di operatori che non commutano, la RdI assume una
forma un po' più complicata, detta "relazione di
Robertson-Schroedinger".

L'errore gravissimo è che tu parli di spettro, che per un operatore
autoggiunto è perfettamente definito (grossolanamente è l'insieme
degli autovalori) mentre avresti dovuto parlare di /scarto quadratico
me*****/.
E' il prodotto degli s.q.m. di due operatori coniugati, che è limitato
inferiormente dalla RdI.

Il punto centrale è quello che ho già detto e che ripeto: lo s.q.m. di
un operatore su una certa psi è un concetto strettamente metematico.
Il suo quadrato è un certo integrale che non sto a scrivere.
Il teorema ti dice che il prodotto dei due integrali non può essere
inferiore a (hbar/2)^2. Nient'altro.

Poi, una volta che ti è stata insegnata l'interpretazione fisica (psi
= stato, op.autoagg. = osservabile, <psi|A|psi> = valor me***** di A in
una serie di misure ripetute dell'oss. A sullo stato psi) e solo
allora, lo s.q.m. definito matematicamente diventa s.q.m. in senso
statistico dei risultati di una serie di misure di A sullo stato psi.
Solo allora puoi dire che la RdI esprime una limitazione intrinseca,
propria della m.q., sui risultati delle misure (non simultanee, nota
bene: fatte su copie diverse del sistema) di due osservabili
incompatibili su uno stesso stato, qualunque esso sia.

Vorrei aggiungere altro, ma per stasera il tempo è scaduto :-)


--
Elio Fabri
Giorgio Pastore 2 Ago 2017 11:16
Il 31/07/17 22:18, Elio Fabri ha scritto:
....
> Il secondo non è propriamente un errore, ma un'inesattezza,
> Io direi che il PdI *non ha niente a che vedere con le misure* (fra
> poco spiego meglio).
> Secondo me bisogna essere radicali, per contrastare l'interpretazione
> erronea (dovuta a Heisenberg) che lo fa discendere della perturbazione
> indotta sul sistema dall'operazione di misura.
> Anche il nome "principio" è improprio, perché fa pensare a un
> enunciato *indipendente*, mentre non lo è affatto.
> Meglio parlare di /relazione/ d'indet., che è più neutro.
>
> Il fatto è che la RdI è un *teorema* matematico, che vale del tutto
> indip. dall'interpretazione fisica della strattura matematica da cui
> si deduce.
> Poi, ma soltanto poi, dato che quella struttura matematica ha
> un'interpretazione fisica, anche i suoi teoremi possono venire
> interpretati fisicamente, ed enunciati in linguaggio fisico.
> La cosa buffa è che H. tutto questo lo sa benissimo, tanto è vero che
> scrive anche la dimostr. matematica.
> E' un bell'esempio delle cose che possono capitare quando una teoria è
> in stato nascente...

A distanza di quasi un secolo da H., e alla luce di quanto venuto dopo,
separarei due problemi diversi ma collegati. Uno e' quello della
varianza delle distribuzioni statistiche delle misure di osservabili non
commutanti per cui valgono le RdI e che e' un teorema.

L' altro e' quello di cosa si puo' dire sulle singole misure eseguite su
un singolo sistema.
H. mescolo' le due questioni e ce ne portiamo le conseguenze in molta
didattica sul *principio* di indeterminazione, inclusi i dubbi sullo
"status" della relazione tempo/energia.

Per quanto non possa dire di avere le idee chiare sulla questione, c'e'
un evidente connessione tra PdI e RdI dovuta alla comune radice nella
non commutazione tra operatori rappresentanti alcune osservabili. E'
infatti incompatibile con l' assiomatica corrente della MQ la
possibilita' che in una singola misura possano essere misurate quantita'
corrispondenti a operatori non commutanti. E qui direi che le
considerazioni di H. sulle perturbazioni introdotte dal processo di
misura mantengono la loro validita'. Diverso e' il ricavare la
quantificazione sulle incertezze per la singola misura.


Giorgio
Maurizio Malagoli 4 Ago 2017 19:11
Il giorno lunedì 31 luglio 2017 22:30:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> ...
>
> --
> Elio Fabri

Grazie mille per la risposta e per la precisa lezione di fisica e ... di
italiano!



E' importante riuscire a scrivere i propri pensieri (che in realtà non sono
neanche miei pensieri, ma sono cose che ho studiato!) in modo corretto, perché
se non riesco fare ciò, vuol dire che ho capito poco. Come quando studiavo:
potevo dire fin che volevo che avevo capito, ma se non riuscivo a risolvere gli
esercizi, questo era un indice molto significativo del fatto che dovevo
ristudiare! Ora non devo fare esercizi (anche se non mi farebbero male!), ma
almeno scrivere correttamente si. Grazie di nuovo.
Maurizio

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